Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função: f x = x 4 - 4 x 3 .

( a ) Indique seu domínio e os interceptos.

( b ) Encontre os seus extremos, classifique-os e indique onde a função é crescente ou decrescente.

( c ) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo e determine seus pontos de inflexão, caso existam.

( d ) Esboce o gráfico da função.

Passo 1

a Bom, é uma função polinimial, então o domínio não tem nada que o complique, certo? Domínio será o conjunto R dos reais.

Além disso, f x pode ser escrita da seguinte maneira:

f x = x 3 x - 4

Ou seja, seus interceptos com o eixo x são suas raízes x = 0 e x = 4 . Já o intercepto com o eixo y , justamente onde x = 0 , temos y = 0 .

Sendo assim os interceptos de f com os eixos principais são nos pontos 0,0 e 4,0 .

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Passo 2

b Para encontrar extremos e analisar crescimento de f temos que olhar para sua derivada:

f ' x = 4 x 3 - 12 x 2

= 4 x 2 x - 3

Nessa situação, os máximos ou mínimos ocorrem quando f ' x = 0 , o que ocorrerá, de acordo com f ' x quando x = 0 e quando x = 3 .

Vamos olhar para o sinal dessa derivada, que aparentemente só depende de ( x - 3 ) , uma vez que 4 x 2 é sempre positivo: f ' x será negativa antes de x = 3 e positiva quando x > 3 . Nessa situação, a derivada até será nula em x = 0 , mas não será um ponto de máximo ou mínimo já que a derivada seria negativa antes e depois desse ponto, não havendo mudança no crescimento.

Assim, temos que f x é crescente para x > 3 e decrescente para x < 3 , sendo x = 3 um ponto de mínimo, já que sua derivada é decrescente antes e crescente logo depois do ponto.

Passo 3

c Concavidade, temos que olhar para a derivada segunda:

f ' ' x = 12 x 2 - 24 x

= 12 x x - 2

Vamos que será nula quando x = 0 e x = 2 , serão nossos pontos de inflexão. Como essa derivada segunda é uma parábola de concavidade para cima, ela será negativa entre suas raízes e positiva no resto do domínio.

Assim, temos concavidade para baixo entre 0 e 2 , para cima em x < 0 e x > 2 e dois pontos de inflexão nesses mesmos valores de x que delimitam o sinal da concavidade.

Passo 4

d Bom, agora a questão é juntar tudo o que tiramos de informação nas outras letras e esboçar a curva. Só um detalhe, acontece que não foi pedida a análise das assíntotas, você pode até fazer, mas já te dou um spoiler: não vai achar nenhuma; não há descontinuidades, então não há assíntotas verticais; os limites das definições da assíntota horizontal e da oblíqua explodem, então também não temos dessas.

Enfim, lá vai o esboço, levando em conta que f 0 = f 4 = 0   ; f 2 = - 1 6   ; f 3 = - 27 :

Resposta

a   D o m :   R   ; 0,0   e   4,0

b   f x é   c r e s c e n t e   e m   x > 3 ,   d e c r e s c e n t e   e m   x < 3 ; x = 3   é   p o n t o   d e   m í n i m o

c   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   0,2 ,   p a r a   c i m a   e m   x < 0   e   x > 2 ;

p o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 0   e   x = 2

d   f i g u r a   a c i m a

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