Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere uma função f : R \ - 2 ,   1 → R com as seguintes propriedades:

  1. f ' x < 0 , para todo x no domínio da função;
  2. f 0 = f 2 = 0
  3. lim x → ± ∞ ⁡ f x = - 1 ;
  4. f ' ' x < 0 para x ∈ - ∞ ,   - 2 ∪ 0 ,   1 e f ' ' x > 0 para x ∈ - 2 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞ ;
  5. lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → - 2 + ⁡ f x = + ∞ ;
  6. lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞ .

Faça um esboço do gráfico dessa função.

Passo 1

Nessa questão de esboço de gráfico todas as informações necessárias já foram dadas, e só cabe a nós interpretá-las.

Então vamos fazer o seguinte: interpretar as propriedades da função uma por uma, beleza?

(a)

f ' x < 0 , para todo x no domínio da função”

A derivada é sempre negativa, então a função é decrescente em todo o seu domínio. Só isso, vamos pra próxima!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

f 0 = f 2 = 0

Bem, aqui não tem muito o que interpretar, simplesmente nos deram os valores da função em 2 pontos. Lembraremos deles na hora de esboçar o gráfico.

Passo 3

(c)

lim x → ± ∞ ⁡ f x = - 1

Limites com x → ± ∞ ?? Isso é sinônimo de assíntota horizontal!

Ou seja, aqui descobrimos que y = - 1 é assíntota horizontal do gráfico da f .

Passo 4

(d)

f ' ' x < 0 para x ∈ - ∞ ,   - 2 ∪ 0 ,   1 e f ' ' x > 0 para x ∈ - 2 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞

Falou em segunda derivada, falou em concavidade! Quando ela é negativa, a função é côncava pra baixo, e quando ela é positiva, a função é côncava pra cima.

Ou seja: f x tem concavidade pra baixo em - ∞ ,   - 2 ∪ 0 ,   1 , e concavidade pra cima em - 2 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞ .

Passo 5

(e)

lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → - 2 + ⁡ f x = + ∞

Aqui temos os limites laterais em x = - 2 , e eles explodem pro infinito. (Aliás, repare que o enunciado diz que x = - 2 não está no domínio da f .)

Então isso significa que x = - 2 é uma assíntota vertical do gráfico!

Passo 6

(f)

lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞

Aqui é a mesma coisa: outra assíntota vertical em x = 1 .

Passo 7

Juntando tudo que achamos pela nossa profunda análise interpretativa das propriedades da função, obtemos o seguinte gráfico:

Lindo ele, né? :’)

Resposta

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