Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

4) Considere a função f x = x e - x , sendo suas derivadas primeira e segunda dadas, respectivamente, por f ' x = e - x 1 - x e f ' ' x = e - x x - 2 . Siga o roteiro abaixo para esboçar um gráfico de f :

  1. Encontre as raízes de f
  2. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f , caso existam
  3. Identifique os intervalos onde f é crescente e decrescente
  4. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f caso existam
  5. Identifique os intervalos onde f é côncava para cima ou para baixo, e encontre os seus pontos de inflexão, caso existam
  6. Com base nas informações acima, esboce um gráfico de f

Passo 1

Passos I e II

Bora lá seguir o roteirinho então. Pelo menos a gente poupa tempo com as derivações. Primeiro vamos ver as raízes:

f x = x e - x = 0

Como e - x = 1 e x nunca pode ser 0 , a única forma desse produto ser 0 é se tivermos x = 0 . Logo a única raiz é a própria origem.

Agora, quando falamos de assíntotas, temos que ver os limites. Bora começar pelas horizontais:

lim x → + ∞ ⁡ x e - x =   lim x → + ∞ ⁡ x e x = + ∞ + ∞

Opa, indeterminação. Mas relaxa, saímos dela com regra de L’Hospital molinho. Derivando em cima e em baixo então, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ x ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 1 + ∞ = 0

Agora pro outro limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x =   lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x lim x → - ∞ ⁡ e x = - ∞ 0 + = - ∞

Então a única assíntota horizontal é y = 0 . Pra ver as verticais, temos que checar os limites laterais para valores de x que “dão problema” na função. Mas veja:

f x = x e - x = x e x

Essa função só “daria problema” se fosse possível fazer e x = 0 . Como não rola, não temos candidatos a assíntotas verticais

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passos III e IV

Esses dois passos usam a primeira derivada, então bora fazer eles juntos. A primeira coisa a fazer é fazer uma análise de sinal para:

f ' x = e - x 1 - x

Como a única raíz da primeira derivada é em x = 1 , temos que analisar o sinal em - ∞ , 1 e em 1 , + ∞ . Pro primeiro intervalo, podemos testar x = 0 , e logo:

f ' 0 = e 0 1 - 0 = 1 > 0

Pro segundo, podemos testar x = 2 , e logo:

f ' 2 = e - 2 1 - 2 = - 1 e 2 < 0

Sendo assim, chegamos a conclusão que a função é crescente em - ∞ , 1 e decrescente em 1 , + ∞ . Afinal, se a primeira derivada é positiva, a função é crescente, se negativa, decrescente. Como a função, antes de x = 1 cresce e depois decresce, então x = 1 é um ponto de máximo

Passo 3

Passos V

Agora temos que fazer a mesma análise, beleza? Só que pra segunda derivada. Vamos ter:

f ' ' x = e - x x - 2 = 0

Oras, isso só vai ser possível pra x = 2 ! Sendo assim, bora testar os intervalos - ∞ , 2 e 2 , + ∞ . Pro primeiro intervalo, podemos testar x = 0 , e logo:

f ' ' 0 = e 0 0 - 2 = - 2 < 0

Pro segundo, podemos testar x = 3 , e logo:

f ' ' 3 = e - 3 3 - 2 = 1 e 3 > 0

Como a concavidade é pra cima quando a segunda derivada é positiva, vamos ter concavidade pra cima no intervalo 2 , + ∞ . Como a concavidade é pra baixo quando a segunda derivada é negativa, vamos ter concavidade pra baixo no intervalo - ∞ , 2 . Logo, x = 2 é o único ponto de inflexão.

Passo 4

Passos VI

Fechamos viu? Só esboçar tudo. Antes disso, talvez seja uma boa ideia fazer um quadro auxiliar pra juntar todas as informações que achamos até agora. Saca só como fica:

Significados do quadro:

  • Eixo superior Eixo x demarcado com os pontos encontrados no cálculo da raiz e nos testes da primeira e segunda derivada
  • Eixo do meio Mostra a esquerda o resultado do limite para - ∞ e a direita o resultado do limite para + ∞ . Resultados iguais à números são assíntotas horizontais
  • Bolinha branca onde está a raíz
  • Setas pra cima e verdes em qual intervalo f x   é crescente.
  • Setas pra baixo e azuis, em qual intervalo f x   é decrescente.
  • Curva vermelha em qual intervalo f x   é côncava pra cima.
  • Curva laranja em qual intervalo f x   é côncava pra baixo.

Com o quadro montado, temos um resumo muito bom pro esboço, que deve sair parecido com:

Resposta

R a i z   e m   x = 0

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   y = 0

S e m   a s s í n t o t a   v e r t i c a l

C r e s c e n t e   e m   - ∞ , 1

D e c r e s c e n t e   e m   1 , + ∞

P o n t o   d e   M á x i m o   G l o b a l   e m   x = 1

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   2 , + ∞  

C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , 2  

P o n t o   d e   I n f l e x ã o   e m   x = 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas