Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a seguinte função

f x = x 2 + 1 x 2 - 4

a Encontre o domínio de f , os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e analise a simetria de f .

b Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

c Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.

d Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

a As restrições de domínio para essa função seriam apenas que o denominador da função não pode ser nulo:

x 2 - 4 ≠ 0

x 2 ≠ 4

x ≠ ± 2

Sendo assim, o domínio da função será:

D o m : R - ± 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quanto às interseções, vamos fazer x = 0 e ver que y achamos e vice-versa:

f 0 = 0 + 1 0 - 4 = - 1 4

0 = x 2 + 1 x 2 - 4   →   ∄

A gente viu que f intercepta o eixo y , onde x = 0 , em y = - 1 4 . Porém não havia nenhuma solução para y = 0 , o que significa que a função não intercepta o eixo x .

Quanto à simetria da função, vemos que f é um quociente entre parábolas simétricas em relação ao eixo y , ou seja, um quociente entre funções pares. Assim, f também será uma função par!

Passo 3

b As assíntotas verticais estão relacionadas com pontos de descontinuidades no domínio. Como vimos, apenas dois pontos não fazem parte do domínio da função, 2 e - 2 :

lim x → 2 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = ∞     ;   lim x → 2 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = - ∞

lim x → - 2 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = - ∞     ;   lim x → - 2 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = ∞

Concluímos que existem duas assíntotas verticais, uma em x = 2 e outra em x = - 2 .

Para observar a existência das assíntotas horizontais vamos fazer os limites de f para x → ∞ e x → - ∞ :

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = lim x → ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 4 x 2

= lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 - 4 x 2 = 1 + 0 1 - 0

= 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 4 x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 - 4 x 2 = 1 + 0 1 - 0

= 1

Achamos para os dois limites a mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Passo 4

c Para observar crescimento e decrescimento da função e seus mínimos e máximos devemos analisar o sinal da derivada primeira de f . Vamos derivar a função que o enunciado deu então pela Regra do Quociente:

f ' x = x 2 + 1 ' x 2 - 4 - x 2 + 1 x 2 - 4 ' x 2 - 4 2

= 2 x x 2 - 4 - x 2 + 1 2 x x 2 - 4 2

= - 10 x x 2 - 4 2

Achamos, assim, a derivada de f . Podemos ver que o termo do denominador será sempre positivo, já que está elevado ao quadrado. O sinal, portanto, só depende de - 10 x , que será positivo para x < 0 e negativo para x > 0 . Assim, a função é crescente em x < 0 e decrescente em x > 0 , sendo x = 0 um ponto crítico de máximo local, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois. Não há pontos de mínimo local.

Passo 5

d Para observar a concavidade da função temos que olhar o sinal da derivada segunda. Vamos derivar f ' pela Regra do Quociente:

f ' ' x = - 10 x ' x 2 - 4 2 - - 10 x x 2 - 4 2 ' x 2 - 4 4

= - 10 x 2 - 4 2 - - 10 x 4 x x 2 - 4 x 2 - 4 4

= - 10 x 2 - 4 - - 10 x 4 x x 2 - 4 3

= 10 ( 3 x 2 + 4 ) x 2 - 4 3

Observando a composição desse termo, vemos que o numerador, o 3 x 2 + 4 , é sempre positivo. O sinal só vai depender do x 2 - 4 . A gente pode fazer o estudo do sinal assim:

f ' ' x > 0 → x 2 - 4 > 0

x 2 > 4

x > 2   ; x < - 2

f ' ' x < 0 → x 2 - 4 < 0

x 2 < 4

- 2 < x < 2

Como vemos, a concavidade será para cima onde x > 2 ou x < - 2 . Será para baixo quando x estiver no intervalo ] - 2,2 [ . Temos pontos de inflexão em x = - 2 e x = 2 .

Passo 6

e Vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:

- D o m : R - ± 2

- I n t e r s e ç ã o : 0 , - 1 4

- f   é   f u n ç ã o   p a r

- A s s .   V e r t i c a l : x = - 2 ; x = 2

- A s s .   H o r i z o n t a l : y = 1

-   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   x < 0   e   d e c r e s c e n t e   e m   x > 0

-   x = 0   é   m í n i m o   l o c a l .   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l .

- C o n c a v i d a d e : p a r a   c i m a   o n d e   x > 2   o u   x < - 2 ; p a r a   b a i x o   q u a n d o - 2 < x < 2

- P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 2   ;   x = 2

Vamos ao esboço:

Resposta

a   D o m : R - ± 2   ;   I n t e r s e ç ã o : 0 , - 1 4 ;   f   é   f u n ç ã o   p a r

b   A s s .   V e r t i c a l : x = - 2 ; x = 2   ;   A s s .   H o r i z o n t a l : y = 1

c   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   x < 0   e   d e c r e s c e n t e   e m   x > 0 ,

  x = 0   é   m á x i m o   l o c a l .   N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l .

d   C o n c a v i d a d e : p a r a   c i m a   o n d e   x > 2   o u   x < - 2 ; p a r a   b a i x o   q u a n d o - 2 < x < 2 ,

p o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 2   e   x = - 2

e   f i g u r a   a c i m a

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