Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere

f x = x e x ,                       s e   x < 0 x - x 2 ,             s e   x ≥ 0

( a ) f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

( b ) Calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) e lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) .

( c ) Determine os pontos críticos de f .

( d ) Em quais intervalos f é crescente?

( e ) Em quais intervalos f é decrescente?

( f ) Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

( g ) Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

( h ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

( i ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

( j ) Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

( k ) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

( a ) Vamos analisar a continuidade de f ( x ) em x = 0 . Se for contínua analisaremos a continuidade de sua derivada f ' x no mesmo ponto para ver se é derivável. Façamos os limites laterais de acordo com a definição e vamos ver se bate a igualdade:

lim x → 0 - ⁡ x e x = lim x → 0 - ⁡ x - x 2

0 e 0 = ( 0 - 0 2 )

0 = 0

Ok, f é contínua em x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver se é derivável derivando suas duas leis de formação para cada intervalo do seu domínio:

f ' x = ( x + 1 ) e x ,                       s e   x < 0 1 - 2 x ,             s e   x ≥ 0

lim x → 0 - ⁡ x + 1 e x = lim x → 0 - ⁡ 1 - 2 x

0 + 1 e 0 = 1 - 2 ( 0 )

1 = 1

Então f também é derivável em x = 0 !

Passo 3

( b ) Vamos calcular então lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) e lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) , de acordo com o domínio de cada intervalo da função f ( x ) :

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x - x 2

= lim x → + ∞ ⁡ x 1 - x

= - ∞

Passo 4

Agora o outro limite:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x e x

= - ∞ 0

Usamos L’Hospital para sair dessa indeterminação, botando a exponencial para ficar com uma indeterminação em forma de divisão:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ 1 - e - x

= 0

Passo 5

( c ) Vamos determinar os pontos críticos de f ( x ) pela sua derivada que achamos na letra a :

f ' x = ( x + 1 ) e x ,                       s e   x < 0 1 - 2 x ,                                   s e   x ≥ 0

Vamos observar em cada intervalo pontos onde f ' x = 0 . Primeiro em x < 0 :

x + 1 e x = 0

x = - 1

Como - 1 < 0 temos que esse ponto é válido e x = - 1 é ponto de mínimo. Vamos olhar no outro intervalo, onde x ≥ 0 :

1 - 2 x = 0

x = 1 2

Nesse caso, vendo que 1 2 ≥ 0 o ponto é válido e x = 1 2 é ponto crítico também.

Passo 6

d - ( e ) Novamente, vamos dividir a análise aos dois intervalos e ver aonde f cresce e onde f decresce. Primeiro vamos observar o x + 1 e x em x < 0 . Olha, e x é sempre positivo, então o sinal só depende de ( x + 1 ) , que é positivo quando x > - 1 e negativo antes.

A função é crescente em ] - ∞ , - 1 [ e crescente no intervalo ] - 1,0 [ .

No outro intervalo ( x ≥ 0 ) temos o domínio da derivada dado por ( 1 - 2 x ) . Esse termo é negativo quando x > 1 2 e positivo quando x < 1 2 .

Concluímos que f ( x ) é crescente em [ 0 , 1 2 [ e decrescente em ] 1 2 , + ∞ [ .

Juntando tudo notamos:

f x   c r e s c e n t e :   ] - 1 , 1 2 [

f x   d e c r e s c e n t e :   ] - ∞ , - 1   ∪   1 2   , + ∞ [

Passo 7

f - ( g ) Vamos pegar os nossos dois pontos críticos e analisar a derivada antes e depois deles.

Em x = - 1 : temos que f ( x ) é decrescente antes e crescente depois: ponto de mínimo local.

Em x = 1 2 : temos que f ( x ) é crescente antes e decrescente depois: ponto de máximo local.

Passo 8

h - i - ( j ) A derivada segunda de f ( x ) pode ser obtida derivando cada domínio, o que ficaria assim:

f ' ' x = ( x + 2 ) e x ,                       s e   x < 0 - 2 ,                                                 s e   x ≥ 0

Vemos que em x ≥ 0 a concavidade é sempre para baixo.

No outro intervalo o sinal só depende de ( x + 2 ) , pois a exponencial é sempre positiva. Vemos que a f ' ' ( x ) é negativa antes de x = - 2 , positiva desse ponto e temos um ponto de inflexão em x = 2 .

Resumindo:

f x   C o n c .   p a r a   c i m a :   ] - 2,0 [

f x   C o n c .   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , - 2 [   ∪   [ 0 , + ∞ [

P o n t o   d e   i n f l e x ã o : x = 2 ; x = 0

Passo 9

( k ) Agora vamos desenhar de acordo com o que vimos aí a nossa f ( x ) :

Cabô!

Resposta

a   S i m .     S i m .

b   lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ ;   lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

c   x = - 1 ;   x = 1 2

d   f x   c r e s c e n t e :   ] - 1 , 1 2 [

e   f x   d e c r e s c e n t e :   ] - ∞ , - 1   ∪   1 2   , + ∞ [

f   x = - 1

g   x = 1 2

h   f x   C o n c .   p a r a   c i m a :   ] - 2,0 [

i   f x   C o n c .   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , - 2 [   ∪   [ 0 , + ∞ [

j   P o n t o   d e   i n f l e x ã o : x = 2 ; x = 0

k   ( f i g u r a   a c i m a )

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