Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Dada a função f x = 2 x e - x 2 , explicite o domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Finalmente, esboce o gráfico, indicando os pontos importantes que você encontrou.

Passo 1

Essa questão pede o pacote completo, não é mesmo? Então vamos lá, a começar pelo domínio. Se a gente olhar a função dessa forma:

f x = 2 x e - x 2 = 2 x e x 2

Vemos que essa função só da ruim se o denominador der 0 , não é mesmo? Mas nesse caso a gente pode ficar tranquilo porque e x 2 nunca vai ser 0 ! Se nenhum x da problema na nossa função, o domínio então vai ser o conjunto dos reais!

D o m f = I R

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Passo 2

Agora vamos ver quando a função cresce e decresce. Pra gente saber isso, temos que ver a inclinação da reta tangente beleza? Se negativa, decresce, se positiva, cresce. E como a primeira derivada da função nos dá a inclinação da tangente, bora derivar:

f ' x = 2 x e - x 2 ' = 2 x ' e - x 2 + 2 x e - x 2 '

f ' x = 2 e - x 2 + 2 x - x 2 ' e - x 2 = 2 e - x 2 + 2 x - 2 x e - x 2

f ' x = 2 e - x 2 - 4 x 2 e - x 2

E agora, bora igualar à 0 pra ver quando a função muda de sinal:

f ' x = 2 e - x 2 - 4 x 2 e - x 2 = 0

4 x 2 e - x 2 = 2 e - x 2

4 x 2 = 2

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

Show, achamos as raízes da primeira derivada. Vamos então checar o que acontece com o sinal da primeira derivada nos intervalos que envolvam as raízes. São eles:

- ∞ , - 1 2

- 1 2 , 1 2

1 2 , + ∞

No primeiro intervalo, usando, por exemplo, x = - 1 , temos:

f ' - 1 = 2 e - - 1 2 - 4 - 1 2 e - - 1 2 = - 2 e < 0

No segundo intervalo, usando, por exemplo, x = 0 , temos:

f ' 0 = 2 e - 0 2 - 4 0 2 e - 0 2 = 2 > 0

No terceiro intervalo, usando, por exemplo, x = 1 , temos:

f ' 1 = 2 e - 1 2 - 4 1 2 e - 1 2 = - 2 e < 0

Sendo assim, a função vai ser:

C r e s c e n t e → - 1 2 , 1 2

D e s c r e s c e n t e →   - ∞ , - 1 2   ∪   1 2 , + ∞

Passo 3

Agora vamos falar de concavidades, beleza? É a próxima coisa que a questão pede mesmo! Pra concavidade a ideia é a mesma do passo 2, mas agora vamos usar a segunda derivada. Partiu derivar de novo então:

f ' ' x = 2 e - x 2 - 4 x 2 e - x 2 '

f ' ' x = 2 e - x 2 ' - 4 x 2 e - x 2 '

f ' ' x = 2 e - x 2 - x 2 ' - 4 x 2 ' e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 '

f ' ' x = 2 e - x 2 - 2 x - 8 x e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 - x 2 '

Ajeitando mais um pouco essa derivada:

f ' ' x = - 4 x e - x 2 - 8 x e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 - 2 x

f ' ' x = - 4 x e - x 2 - 8 x e - x 2 - 8 x 3 e - x 2

f ' ' x = - 4 x e - x 2 - 8 x e - x 2 + 8 x 3 e - x 2

f ' ' x = - 12 x e - x 2 + 8 x 3 e - x 2

Agora sim ta mais bonito. Vamos igualar a 0 então:

f ' ' x = - 12 x e - x 2 + 8 x 3 e - x 2 = 0

12 x e - x 2 = 8 x 3 e - x 2 → x = 0

Achamos um intervalo em! Mas calma, podem ter outros. Dividindo os dois lados por x e - x 2 temos:

12 = 8 x 2

x 2 = 12 8 = 3 2

x = ± 3 2

Opa, achamos as raízes então da segunda derivada. Agora vamos checar os intervalos que envolvem essas raízes. Se nesse intervalo a segunda derivada for positiva, a concavidade vai ser pra cima. Se for negativa, concavidade pra baixo! Então bora! Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 3 2

- 3 2 , 0

0 , 3 2

3 2 , + ∞

No primeiro intervalo, usando, por exemplo, x = - 2 , temos:

f ' ' - 2 = - 12 - 2 e - - 2 2 + 8 - 2 3 e - - 2 2 = - 40 e 4 < 0

No segundo intervalo, usando, por exemplo, x = - 1 , temos:

f ' ' - 1 = - 12 - 1 e - - 1 2 + 8 - 1 3 e - - 1 2 = 4 e > 0

No terceiro intervalo, usando, por exemplo, x = 1 , temos:

f ' ' 1 = - 12 1 e - 1 2 + 8 1 3 e - 1 2 = - 4 e 2 < 0

No quarto intervalo, usando, por exemplo, x = 2 , temos:

f ' ' 2 = - 12 2 e - 2 2 + 8 2 3 e - 2 2 = 40 e 2 > 0

Sendo assim, a função vai ser:

C ô n c a v a   p r a   c i m a → - 3 2 , 0 ∪ 3 2 , + ∞

C ô n c a v a   p r a   b a i x o → - ∞ , - 3 2 ∪ 0 , 3 2

E como ponto de inflexão é exatamente o ponto onde a concavidade muda, os pontos de inflexão vão ser:

- 3 2 , f - 3 2

0 , f 0

3 2 , f 3 2

Como f x = 2 x e - x 2 , vamos ter:

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   - 3 2 , - 2 3 2 e 3 2 0,0 3 2 , 2 3 2 e 3 2

Passo 4

Pra gente fechar a questão com chave de ouro, falta só esboçar o gráfico. Mas antes disso, vamos dar uma olhada em outras propriedades da função: as assíntotas e as interseções com os eixos.

Vamos começar com as assíntotas verticais. Pra ter uma assíntota vertical, tem que ter algum ponto do domínio que dê problema. Como láááá do passo 1 vimos que o domínio é o conjunto dos números reais, já descartamos logo as assíntotas verticais!

Agora pras horizontais, não tem jeito, só calculando os limites:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x e - x 2

Calculando então os limites, temos:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x e - x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 2 x e x 2 = ∞ ∞

Fazendo L’Hospital, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x ' e x 2 ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 2 x e x 2 = 0

Então sim, temos uma única assíntota horizontal, e é a reta y = 0 . Juntando tudo que vimos, conseguimos esboçar o gráfico! O resultado vai ser:

Resposta

D o m f = I R

C r e s c e n t e → - 1 2 , 1 2

D e s c r e s c e n t e →   - ∞ , - 1 2   ∪   1 2 , + ∞

C ô n c a v a   p r a   c i m a → - 3 2 , 0 ∪ 3 2 , + ∞

C ô n c a v a   p r a   b a i x o → - ∞ , - 3 2 ∪ 0 , 3 2

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   - 3 2 , - 2 3 2 e 3 2 0,0 3 2 , 2 3 2 e 3 2

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