Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

4) Dada a função f x = x + 1 x , explicite o domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Finalmente, esboce o gráfico, indicando todos os pontos importantes que você encontrou.

Passo 1

A questão quer da gente bastante coisa a respeito da nossa f x . Então vamos lá dar pra ela o que ela quer. Vamos começar com o domínio. Vendo bem a nossa função:

f x = x + 1 x

A gente vê que x = 0 não rola! Veja bem, não podemos nem dividir nada por ! . Sendo assim, o domínio de f x vai ser:

D o m f = I R - 0

Vamos ver agora as assíntotas! Começando pelas horizontais, pra gente checar se elas existem, vamos ter que fazer o limite. Então partiu:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x = + ∞ + 0 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x = - ∞ + 0 = - ∞

Então olha só, não vamos ter assíntotas horizontais! Se a função tivesse, os limites acima teriam dado números. Agora pra ver as verticais, como 0 é um ponto fora do domínio de f , ele pode ser um bom candidato à assíntota vertical em! Calculando o limite então:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 x = 1 0 + = + ∞

lim x → 0 - ⁡ x + 1 x = 1 0 - = - ∞

Opa, então temos sim assíntota! A assíntota que vamos ter é única e vertical e ela vai ser:

x = 0

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Passo 2

Vamos ver agora tudo que envolva a primeira derivada de f x . Como essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico, vai dar pra saber quando a função é decrescente ou crescente e em quais pontos ela troca entre eles. Derivando então:

f ' x = x + 1 x '

f ' x = 1 - 1 x 2

Beleza. Se a primeira derivada for positiva, a função é crescente. Se for negativa, decrescente. Então vamos igualar à 0 e ver quando isso acontece:

f ' x = 1 - 1 x 2 = 0

1 - 1 x 2 = 0

1 x 2 = 1

x 2 = 1

x = ± 1

Ok, duas raizes na primeira derivada. Vamos checar o sinal dela então em intervalos que envolvam essa raiz e o domínio de f . Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 1

- 1 , 0

0 , 1

1 , + ∞

No primeiro, vamos testar x = - 2 por exemplo. Vamos ter:

f ' - 2 = 1 - 1 4 = 0,75 > 0

No segundo, vamos testar x = - 0,5 por exemplo. Vamos ter:

f ' - 0,5 = 1 - 1 0,5 = - 1 < 0

No terceiro, vamos testar x = 0,5 por exemplo. Vamos ter:

f ' 0,5 = 1 - 1 4 = - 1 < 0

No quarto, vamos testar x = 2 por exemplo. Vamos ter:

f ' 2 = 1 - 1 4 = 0,75 > 0

Opa, se antes de x = - 1 a função era crescente e depois se tornou decrescente, o ponto é de máximo e se antes de x = 1 a função era decrescente e depois se tornou crescente, temos um ponto de mínimo. Resumindo o passo 2, vamos ter:

P o n t o   d e   M á x i m o → x = - 1 P o n t o   d e   M í n i m o → x = 1 C r e s c e n t e   e m → - ∞ , - 1     ∪   1 , + ∞   D e c r e s c e n t e   e m → - 1,0     ∪   0,1

Passo 3

Bora ver agora a concavidade. Pra isso, a gente vai precisar derivar de novo, beleza? A segunda derivada vai ser então:

f ' ' x = 1 - 1 x 2 ' = 2 x 3

E olha só! Como no numerador não temos nenhuma função de x , mas no denominador temos um x elevado a um número ímpar, vamos ter que:

x < 0 → x 3 < 0 → f ' ' x < 0

x > 0 → x 3 > 0 → f ' ' x > 0

Ou seja:

C ô n c a v o   p r a   b a i x o → - ∞ , 0

C ô n c a v o   p r a   c i m a → 0 , + ∞

Como não existe nenhum ponto que zere a segunda derivada, não teremos pontos de inflexão! E agora temos tudo pra esboçar o gráfico. Juntanto todas as informações que pegamos, chegamos à:

Resposta

D o m f = I R - 0

A s s í n t o t a   V e r t i c a l → x = 0

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → N ã o   t e m

P o n t o   d e   M á x i m o → x = - 1 P o n t o   d e   M í n i m o → x = 1 C r e s c e n t e   e m → - ∞ , - 1     ∪   1 , + ∞   D e c r e s c e n t e   e m → - 1,0     ∪   0,1

C ô n c a v o   p r a   b a i x o → - ∞ , 0

C ô n c a v o   p r a   c i m a → 0 , + ∞

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → N ã o   t e m

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