Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

( a ) Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa justificando:

S e   x 0     é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o ,   e n t ã o   f ' x 0 ≠ 0 .

Passo 1

Se x 0 é ponto de inflexão nós temos, por definição, que f ' ' x 0 = 0 . Em outras palavras, é como se a proposição acima fosse:

S e   f ' ' x 0 = 0 ,   e n t ã o   f ' x 0 ≠ 0 .

Ora, a gente sabe que isso não necessariamente, pois podíamos ter uma função com um ponto de inflexão coincidente com um ponto crítico, onde f ' x = 0 . Vamos provar isso por um exemplo.

Tomando f x = x 3 teríamos:

f ' x = 3 x 2

f ' ' x = 6 x

Nesse caso, se tomássemos o x 0 = 0 , teríamos um ponto crítico e um ponto de inflexão:

f ' 0 = 3 0 2 = 0

f ' ' 0 = 6 0 = 0

Logo, a proposição não seria verdadeira nesse caso, provando que ela é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tomando f x = x 3 teríamos:

f ' x = 3 x 2

f ' ' x = 6 x

Nesse caso, se tomássemos o x 0 = 0 , teríamos um ponto crítico e um ponto de inflexão:

f ' 0 = 3 0 2 = 0

f ' ' 0 = 6 0 = 0

Logo, a proposição não seria verdadeira nesse caso, provando que ela é falsa.

Resposta

A   p r o p o s i ç ã o   é   f a l s a .

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