Um determinado sistema tem sua capacidade C ( x ) variando com um parâmetro x através de dois modelos definidos dependentes do valor de x . Quando x é não-negativo sabe-se que C 3 x = x - 4 x - 1 2 , e quando x é negativo sabe-se que C x - 3 x 2 = 2 x + 1 . Você é o engenheiro responsável e precisa entender o total funcionamento do sistema com a variação do parâmetro x . Com isso:

  1. Faça o esboço do modelo completo da capacidade do sistema para a variação de x em todo R . (Obs.: Devem ser apresentados todos os cálculos antes do desenho do esboço, englobando todos os passos vistos em teoria em sala).
  2. Os pontos críticos obtidos na capacidade do sistema quando x varia em todo R .
  3. Os pontos de inflexão obtidos na capacidade do sistema quando x varia em todo R .
  4. Sabendo que o sistema funcionará apenas para x ≤ - 1 2 e 0 ≤ x ≤ 3 , determine, caso existam, os máximos e mínimos globais para cada um dos intervalos de funcionamento.

Passo 1

Fala, galerinha! Construção de gráficos é uma tarefa metódica, devemos ter uma cadeia de passos a qual sempre seguiremos que nos forneça informações relevantes. Seguindo o passo a passo da questão podemos chegar no desenho correto, acompanha:

C x = 3 + 2 x + 1 x 2 ,       p a r a   x < 0 x - 4 1 3 x - 1 2 3 ,       p a r a   x ≥ 0

DESCONTINUIDADES: Observe que se aproximando de x = 0   a função diverge pela esquerda e converge pela direita. E a derivada para x = 4 e x = 1 não deve existir, apesar da função ser definida nesses pontos indicando bicos no gráfico.

PRIMEIRA DERIVADA: para x ≠ 0 :

C ' x = - 2 x 2 - 2 x 3 ,       p a r a   x < 0 x - 4 - 2 3 3 x - 1 2 3 + 2 x - 4 1 3 x - 1 - 1 3 3 ,       p a r a   x ≥ 0

⇒ C ' x = - 2 ( x + 1 ) x 3 ,       p a r a   x < 0 1 / 3 x - 1 x - 4 2 3 + 2 x - 4 x - 1 1 3 ,       p a r a   x ≥ 0 = - 2 ( x + 1 ) x 3 ,       p a r a   x < 0 1 / 3 x - 1 + 2 ( x - 4 ) x - 4 2 3 x - 1 1 3 ,       p a r a   x ≥ 0

⇒ C ' x = - 2 ( x + 1 ) x 3 ,       p a r a   x < 0 x - 3 x - 4 2 3 x - 1 1 3 ,       p a r a   x ≥ 0

PONTOS CRÍTICOS: C ' x = 0 ou C ' ( x )

Em x = 0 a derivada diverge pela esquerda e converge pela direita, logo C ' ( 0 ) . Veja ainda que para x > 0 , C ' ( x ) , para x ∈ { 1 ,   4 } . Se a derivada se anula para x < 0 :

- 2 x + 1 x 3 = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1

E se esta se anula para x > 0 :

x - 3 x - 4 2 3 x - 1 1 3 = 0         ⇒ x = 3

Logo, para x ∈ { - 1 ,   3   } a derivada se anula e para x ∈ { 0,1 , 4 } a derivada não existe. Tendo

lim x → 0 + ⁡ C ' x = 3 4 2 3                     lim x → 0 - ⁡ C ' x = ∞

lim x → 1 + ⁡ C ' x = - ∞                       lim x → 1 - ⁡ C ' x = ∞

lim x → 4 + ⁡ C ' ( x ) = ∞                   lim x → 4 - ⁡ C ' ( x ) = ∞        

Donde em 0 a função é descontínua e nos outros dois pontos nos quais previa-se um bico na função, teremos inclinações α   de tan ⁡ α = ± ∞ , isto é, α = ± π / 2 , verticais. Em x = 1 , a função há de subir na vertical e depois descer, enquanto em x = 4 a função tratará de subir na vertical apenas.

São os pontos críticos:

x ∈ - 1 ,   0 ,   1 ,   3 ,   4                         ( b )

CRESCIMENTO: Fazendo o estudo de sinal, usando como pontos de referência os obtidos acima, teremos:

Assim, os extremos do domínio são x = 1 (máximo local), x = - 1 e x = 3 (mínimos locais), uma vez que o crescimento se inverte nestes pontos.

Passo 2

Derivando a expressão da primeira derivada:

C ' x = - 2 x + 1 x 3 ,       p a r a   x < 0 x - 3 x - 4 2 3 x - 1 1 3 ,       p a r a   x ≥ 0

SEGUNDA DERIVADA: para x ∉ { 0,1 , 4 } , temos:

C ' ' x =

= - 2 x 3 - x + 1 3 x 2 x 6 ,       p a r a   x < 0 x - 4 2 3 x - 1 1 3 - x - 3 3 [ 2 x - 4 - 1 3 x - 1 1 3 + x - 4 2 3 x - 1 - 2 3 ] x - 4 4 3 x - 1 2 3 × x - 1 2 3 x - 4 1 3 x - 1 2 3 x - 4 1 3 ,     x ≥ 0

= - 2 - 2 x - 3 x 4 ,       p a r a   x < 0 ( x - 4 ) ( x - 1 ) - x - 3 3 [ 2 ( x - 1 ) + ( x - 4 ) ] x - 4 5 3 x - 1 4 3 ,     x ≥ 0

= 4 x + 3 2 x 4 ,       p a r a   x < 0 ( x - 4 ) ( x - 1 ) - ( x - 3 ) ( x - 2 ) x - 4 5 3 x - 1 4 3 ,     x ≥ 0

= 4 ( x + 3 / 2 ) x 4 ,       p a r a   x < 0 ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 - 5 x + 6 ) x - 4 5 3 x - 1 4 3 ,     x ≥ 0

⇒ C ' ' ( x ) = 4 ( x + 3 / 2 ) x 4 ,       p a r a   x < 0 - 2 x - 4 5 3 x - 1 4 3 ,     x ≥ 0

PONTOS DE INFLEXÃO: C ' ' x = 0

Repare que não há pontos de inflexão para x ≥ 0 , contudo para x < 0 , se a segunda derivada se anula:

4 ( x + 3 / 2 ) x 4 = 0 ⇒ x + 3 2 = 0 ⇒ x = - 3 2

Logo, x ∈ { - 3 / 2 } representa os pontos de inflexão nos quais há mudança de concavidade.

CONCAVIDADE: determinada pelo sinal de C ' ' ( x ) ,usaremos como pontos de referência do estudo de sinal os pontos de inflexão e as descontinuidades x ∈ { 0,1 , 4 } :

Repare, todavia, que a concavidade muda em x = 4 e a função é contínua neste ponto, logo mesmo que a segunda derivada não seja nula em x = 4 , este é um ponto de inflexão.

Passo 3

ASSÍNTOTAS VERTICAIS: geralmente, ocorrem em descontinuidades. Basta verificar em x = 0 , portanto. Observe que para:

C x = 3 + 2 x + 1 x 2 ,       p a r a   x < 0 x - 4 1 3 x - 1 2 3 ,       p a r a   x ≥ 0

Teremos

lim x → 0 + ⁡ C x = - 4 1 3                                     lim x → 0 - ⁡ C x = l i m x → 0 - 3 + 2 + 1 x x = - ∞

Logo, temos uma assíntota vertical pela direita: x = 0 , com y ∈ R .

ASSÍNTOTAS NÃO-VERTICAIS:   essas ocorrem em ± ∞ quando a função tende a a x + b . O passo a passo é verificar se lim x → ± ∞ ⁡ h x x = a é finito, para depois verificar se l i m x → ± ∞ h x - a x = b é finito. Assim, observe que:

lim x → ∞ ⁡ C x x = lim x → ∞ ⁡ x - 4 1 3 x - 1 2 3 x =

= lim x → ∞ ⁡ 1 - 4 / x 1 3 1 - 1 / x 2 3 = 1

Agora,

lim x → ∞ ⁡ C x - 1 x = l i m x → ∞ x - 4 1 3 x - 1 2 3 - x    

Aqui usaremos o truque de multiplicar a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) :

lim x → ∞ ⁡ C x - 1 x = l i m x → ∞ x - 4 x - 1 2 - x 3 x - 4 2 3 x - 1 4 3 + x - 4 1 3 x - 1 2 3 x + x 2

= l i m x → ∞ ( x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4 ) - x 3 x - 4 2 3 x - 1 4 3 + x - 4 1 3 x - 1 2 3 x + x 2

= l i m x → ∞ - 6 x 2 + 9 x - 4 x - 4 2 3 x - 1 4 3 + x - 4 1 3 x - 1 2 3 x + x 2    

= l i m x → ∞ - 6 + 9 x - 4 x 2 1 - 4 x 2 3 1 - 1 x 4 3 + 1 - 4 x 1 3 1 - 1 x 2 3 + 1 = - 6 3 = - 2

Logo, para x → ∞ , y = x - 2 é assíntota. E ainda, ( v i )

lim x → - ∞ ⁡ C x x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 2 x + 1 x 3 =  

= lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 2 + 1 / x x 2 = 0

Agora,

lim x → - ∞ ⁡ C x - 0 x = l i m x → - ∞ 3 + 2 x + 1 x 2

= l i m x → - ∞ 3 + 2 + 1 / x x = 3

Logo, para x → - ∞ , y = 3 também é assíntota.

Passo 4

PONTOS DE REFERÊNCIA: Para fazer o esboço é bom tomar alguns pontos de referência como os pontos de inflexão e os críticos. Anotando seus valores no gráfico.

ESBOÇO:

( a )

Passo 5

( d ) Analisando o intervalo x ≤ - 1 2 , onde C - 1 2 = 3 , o mínimo local x = - 1 obviamente será global, uma vez que comparado aos outros candidatos (extremidades do intervalo) é o menor:

C - 1 = 2 ,             C - 1 2 = 3 ,               C - ∞ = 3

E o máximo global ocorre em x = - 1 / 2 , pois apresenta valor maior que a outra extremidade que apenas tende a 3 inferiormente.

Enquanto isso, o intervalo 0 ≤ x ≤ 3 apresenta um máximo local em x = 1 e um mínimo local em x = 3 , sabendo que os candidatos (extremos locais e extremidades do intervalo) são tais que

C 0 = - 4 1 3                     C 1 = 0 ,                         C 3 = - 4 1 3

Temos que x = 1 é máximo global, visto que é maior que os outros candidatos a máximo. Enquanto, ambas as extremidades são pontos de mínimo global, visto que são menores que os outros candidatos.

Resposta

  1. x ∈ - 1 ,   0 ,   1 ,   3 ,   4
  2. x ∈ - 3 2 , 4
  3. x ≤ - 1 / 2 : Mín: x = - 1 Máx: x = - 1 / 2

0 ≤ x ≤ 3 : Mín: x ∈ { 0 ,   3 } Máx: x = 1

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