Durante o processo de tosse, provocado pela presença a traqueia de algum corpo estranho, a traqueia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar através dela, e assim tornar mais eficiente o método de expulsão do corpo estranho. Segundo Pouseiulle, indicando por r 0 o raio da traqueia em estado normal e por r ≤ r 0 o seu raio durante a tosse, o fluxo de ar V = V ( r ) na traqueia pode ser modelado por:

V r = K r 0 2   r 4   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   K r 0 - r r 4   s e   r 0 2 ≤ r < r 0  

Onde K é uma constante positiva.

  1. Determine os pontos críticos de V r no intervalo 0 , r 0
  2. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V r .
  3. Determine os intervalos em que o gráfico de V r é côncavo para cima ou para baixo.
  4. Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de V r no caso em que K = 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Quando nós tossimos, esse tossido vem muito rapido. Por que? Como dito no enunciado, é porque nossa garganta se contraio, ficando com um raio menor, assim teremos mais fluxo de ar passando por ela.

Na questão nos é pedido para determinarmos os pontos críticos dessa função do fluxo de ar, ou seja, pontos onde elas são máximas e mínimas, o que seria garganta no momento da tosse e do relaxamento, algo assim. Além disso, demais coisas sobre o gráfico da função do fluxo de ar.

Para a)

Um ponto critico é quando a derivada d função é nula. Por que nula? Porque é quando ela alcança o máximo ou o mínimo. Veja:

Assim, façamos a derivada:

  V ' r = d d r K r 0 2   r 4   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   d d r K r 0 - r r 4   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Assim:

V ' r = 4 K r 0 2 r 3   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   4 K r 3 r 0 - 5 K r 4   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Igualando a 0:

PS: leve em conta que para primeira derivada o máximo é para r 0 2 , assim ao invés de r = 0 podemos fazer r = r 0 2 .

V ' r = 0 = r 0 2   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   4 5 r 0   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Intervalos de decrescimento são intervalo onde a função cresce ou decresce, de forma que podemos saber a partir de qual ponto ela cresce ou decresce. Para isso, basta substituirmos o ponto que achamos quando igualamos a nossa derivada da função a 0 na própria derivada da função.

“Mas por que, Mogli?” pois se a derivada da função é 0 naquele ponto, em outras palavras ela é reta horizontal, significa dizer que antes dela e depois dela a função cresce e decresce, como na imagem anterior que demos:

Repetindo a derivada:

V ' r = 4 K r 0 2 r 3   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   4 K r 3 r 0 - 5 K r 4   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

E quando igualamos a 0, obtivemos: r 0 2 , 4 5 r 0 . Para sabermos de fato se a função cresce ou decresce naquele ponto, basta pegarmos quaisquer pontos nesse intervalo, se ela é maior que 0 significa que ela está crescendo, isso é chamado de varal de crescimento e decrescimento, e é dessa forma:

Onde escolhemos como um ponto no intervalo r 0 4 , e é com ele que vamos saber se a função cresce ou decresce.

Assim, aplicando r 0 4 na nossa derivada, temos:

V ' r 0 4 = 2 K r 0 r 0 2 3 > 0           K > 0   e   r 0 > 0

r > 0 pois não há como o raio de uma garganta ser menor que 0.

Assim veja que 0 , r 0 2 a função é intervalo de crescimento.

Agora para a outra derivada, temos:

Peguemos por exemplo os pontos

r = 7 10   r 0

Para o intervalo entre r 0 2 , 4 5 r 0

E:

r = 9 10   r 0

Para o intervalo 4 5 r 0 , r 0 .

Assim ficando no nosso varal:

Vamos analisar para o intervalo r 0 2 , 4 5 r 0 com o ponto r = 7 10 r 0 primeiro. Assim:

V ' 7 10 r 0 = 4 K 7 10 r 0 3 r 0 - 5 K 7 10 r 0 4 = K r 0 4 4 7 10 3 - 5 7 10 4

Veja que   4 7 10 3 - 5 7 10 4 > 0 , assim:

V ' 7 10 r 0 = K r 0 4 4 7 10 3 - 5 7 10 4 > 0

Assim a função cresce nesse ponto.

Agora para o intervalo 4 5 r 0 , r 0 com o ponto r = 9 10   r 0 :

V ' 9 10 r 0 = 4 K 9 10 r 0 3 r 0 - 5 K 9 10 r 0 4 = K r 0 4 4 9 10 3 - 5 9 10 4

Veja que 4 9 10 3 - 5 9 10 4 < 0 . Assim:

V ' 9 10 r 0 = K r 0 4 4 9 10 3 - 5 9 10 4 < 0

Logo a função decresce nesse ponto.

Portanto, pegando os pontos de crescimento e decrescimento, temos:

c r e s c e   e m   0 , r 0 2 ∪ r 0 2 , 4 5 r 0 ,       d e c r e s c e   e m   4 5 r 0 , r 0

Passo 3

Para c)

Para a determinação do intervalo de concavidade de uma função devemos pegar a segunda derivada igualar a 0 e verificar se ela é positiva ou negativa. Para melhor visualização, veja essa imagem:

Ficou mais claro, né carinha?!

É parecido com o item anterior, não é?!

Sendo assim, derivemos a nossa função derivada de V r , ou seja:

V ' ' ( r ) = d d r 4 K r 0 2 r 3   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   d d r 4 K r 3 r 0 - 5 K r 4   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Ficando:

V ' ' ( r ) = 6 K r 0   r 2   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   12 K r 0 r 2 - 20 K r 3   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Igualando a 0, temos:

V ' ' r = 0 = r = r 0 2   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   r = 3 5   r 0   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Aplicando o mesmo varal que usamos no interior, sob os mesmos intervalos, temos:

Com o ponto r = r 0 4

Temos:

V ' ' r 0 4 = 6 K r 0   r 0 4 2

Veja que V ' ' r 0 4 > 0 , assim a função nesse intervalo 0 , r 0 2 tem concavidade para cima.

Para o outro pedaço da função:

Veja que pegamos o ponto r = 11 20   r 0 para analisarmos entre o intervalo r 0 2 , 3 5 r 0 , e r = 4 5 r 0 para analisarmos entre intervalo 3 5 r 0 , r 0 . Assim, bora lá analisar?

V ' ' 11 20 r 0 = 12 K r 0 11 20 r 0 2 - 20 K 11 20 r 0 3

Fatorando 11 2 r 0 3 K 20 2 , temos:

V ' ' 11 20 r 0 = 11 2 K r 0 3 20 2 12 - 11 > 0

Assim, por ser positiva, a função nesse intervalo, de r 0 2 , 3 5 r 0 , tem concavidade positiva.

Para o outro lado do intervalo, com r = 4 5 r 0 para o intervalo 3 5 r 0 , r 0 , temos:

V ' ' 4 5 r 0 = 12 K r 0 4 5 r 0 2 - 20 K 4 5 r 0 3

Fatorando K r 0 3 , temos:

] V ' ' 4 5 r 0 = K r 0 3 12 4 2 5 2 - 20 4 3 5 3

Veja que 12 4 2 5 2 - 20 4 3 5 3 < 0 , assim:

V ' ' 4 5 r 0 = K r 0 3 12 4 2 5 2 - 20 4 3 5 3 < 0

E assim, por ser negativa, a função tem concavidade para baixo.

Resumindo:

c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   0 , r 0 2 ∪ r 0 2 , 3 5 r 0 ,       e   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   3 5 r 0 , r 0

Passo 4

Com isso tudo já definido, podemos montar nosso gráfico seguindo os passos dados nos itens anteriores.

Ficando algo assim nessa pegada;

Resposta

Para a)

V ' r = 0 = r 0 2   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   4 5 r 0   s e r 0 2 ≤ r < r 0  

Para b)

c r e s c e   e m   0 , r 0 2 ∪ r 0 2 , 4 5 r 0 ,       d e c r e s c e   e m   4 5 r 0 , r 0

Para c)

c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   0 , r 0 2 ∪ r 0 2 , 3 5 r 0 ,       e   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   3 5 r 0 , r 0

Para d)

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