Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Depois faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5

Podemos simplificar aquele x - 5 , mas é importante lembrar aqui o domínio da função.

Ele pediu o gráfico no fim da questão, mas estamos dando uma manipulada na expressão da função, nessas horas é importante ficarmos atentos ao domínio da função.

Isso porque as vezes nós cortamos coisas e esquecemos delas no final.

Aqui não podemos ter denominadores negativos, então

x ≠ 1 ,     e ,     x ≠ 5

Assim, o domínio vai ser qualquer número diferente de 1 e 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos voltar para a nossa função

f x = x x - 5 x - 1 x - 5

Agora vamos cortar aquele x - 5

f x = x x - 1

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 3

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = 1 0

= - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Asíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Passo 5

Agora, temos que usar isso para fazer um esboço do gráfico. Vou juntar os limites

lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞ ; lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 ; lim x → - ∞ ⁡ f x = 1

Vamos traçar as assíntotas no plano cartesiano primeiro, colocando retas pontilhadas

Pelos limites, vamos ver que a nossa função logo depois de 1 , ou seja, com 1 + , vai vir de + ∞ e depois vai ser assintótica com y = 1 . Vamos desenhar isso

Agora falta a outra parte, a função vem próxima de y = 1 , e vai se afastando para valores cada vez menores indo até o - ∞ quando x → 1 - , o gráfico dessa parte vai ser

O nosso gráfico vai ser alto mais ou menos assim

Resposta

Assíntota vertical:

x = 1

Assíntota horizontal:

y = 1

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