Esboce o gráfico de

y = x 3 - 2 x 2 + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar o gráfico da seguinte função:

y = x 3 - 2 x 2 + 1

Mas como podemos esboçar essa função???

Uma forma seria escolher valores aleatórios de x e analisar os valores de y correspondentes e, por fim, traçarmos um gráfico... mas isso seria muito trabalhoso, né?

Então... outra opção seria a gente selecionar os pontos de interseção com os eixos, identificar as assíntotas verticais e horizontais, e determinar o comportamento da curva em torno desses pontos e assíntotas.

Então bora lá!!

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos começar encontrando os pontos de interseção com os eixos x e y :

  • Interseção com o eixo y (fazendo x = 0 ):
  • y = 0 3 - 2 0 2 + 1 ∴

    y = - 2

  • Interseção com o eixo x (fazendo y = 0 ):

0 = x 3 - 2 x 2 + 1 ∴

x 3 - 2 = 0 ∴

x = 2 3

Agora, vamos calcular as assíntotas verticais e horizontais.

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador se anula, ou seja:

x 2 + 1 = 0 ∴

O denominador x 2 + 1 nunca se anula, pois x 2 é sempre positivo ou zero, e somar 1 ao resultado nunca o tornará zero.

Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Por outro lado, quando x tende ao infinito, o comportamento do gráfico se aproxima de uma assíntota horizontal.

Dessa forma, as assíntotas horizontais ocorrem quando o grau do numerador é menor ou igual ao grau do denominador.

Logo, para encontrar a assíntota horizontal, basta comparar os graus do numerador e denominador:

y = x 3 - 2 x 2 + 1 ∴

y ≈ x 3 x 2 ∴

y = x

Assim, temos uma assíntota horizontal em y = x .

Passo 5

Com essas informações, podemos plotar o gráfico:

O gráfico possui uma assíntota horizontal em y = x , uma interseção com o eixo y em y = - 2 e uma interseção com o eixo x em x = 2 3 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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