Esboce o gráfico

f x = x 3 - x 2 + 1

Passo 1

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Bora resolver mais uma comigo?

Claro, vou descrever como você pode esboçar o gráfico da função

f x = x 3 - x 2 + 1

Aqui estão os passos para esboçar o gráfico:

Encontraremos os pontos críticos da função. Isso ocorre onde a derivada da função é igual a zero.

A derivada de f ( x ) é:

[ f ' x =   3 x 2 -   2 x ]

Agora, resolva 3 x 2 -   2 x   =   0 para encontrar os pontos críticos:

[ 3 x 2 -   2 x   =   0 ]

Fatorando:

[ x 3 x   -   2 =   0 ]

Isso nos dá duas soluções:

a) ( x   =   0 )

b) 3 x   –   2   =   0 ⇒   3 x   =   2 ⇒   x   =   2 / 3

Portanto, existem dois pontos críticos: ( x   =   0 )   e   ( x   =   2 / 3 ) .

Passo 2

Encontraremos os valores de   f ( x ) nos pontos críticos e nos pontos onde a função cruza o eixo x   ( f x = 0 )

Para x = 0 ;

[ f 0 =   0 3 -   0 2 +   1   =   0   -   0   +   1   =   1 ]

Para x = 2 / 3 ;

f 2 3 = 2 3 3 - 2 3 2 + 1  

f 2 3 = 8 27 - 4 9 + 1

f 2 3 = 8 27 - 12 27 + 27 27

f 2 3 = 8 - 12 + 27 27

f 2 3 = 23 27

Passo 3

Encontraremos o comportamento da função para x tendendo ao infinito positivo e negativo:

À medida que x tende ao infinito positivo ou negativo, o termo x 3 domina a função, e os outros termos se tornam menos significativos.

Isso significa que a função se aproxima de à medida que x   tende ao infinito positivo e se aproxima de - ∞ à medida que x   tende ao infinito negativo.

Agora, você pode esboçar o gráfico com essas informações:

- A função passa pelo ponto (0, 1).

- A função possui um ponto crítico em ( 2 / 3 ,   23 / 27 )

- À medida que \(x\) tende ao infinito negativo, a função vai para - ∞

- À medida que \(x\) tende ao infinito positivo, a função vai para

O gráfico será uma curva suave que passa pelo ponto (0, 1), atinge um mínimo local em ( 2 / 3 ,   23 / 27 ) e se estende infinitamente para cima e para baixo nos dois lados do eixo x.

Passo 4

Gráfico

Resposta

Vide a explicação.

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