Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico de

f x = e 1 x

Passo 1

Para começar, vamos determinar o domínio da função. A única restrição é no ponto x = 0 , em que a função não está definida. Então o domínio é

R - ( 0 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

- f x = f ( - x ) ?

Não. Exemplo: e 1 1 ≠ e 1 - 1

- f - x = - f ( x ) ?

Não. Exemplo: e 1 - 1 ≠ - e 1 1

Passo 3

Chegou a hora de determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos o ponto x = 0 em que a função é descontínua. Vamos ver o comportamento dela perto desse ponto.

lim x → 0 + ⁡ e 1 x = e ∞ = ∞

lim x → 0 + ⁡ e 1 x = e - ∞ = - ∞

Então x = 0 é uma assíntota vertical. Agora vãos ver as assíntotas horizontais.

lim x → ∞ ⁡ e 1 x = e 1 ∞ = e 0 = 1

lim x → ∞ ⁡ e 1 x = e 1 - ∞ = e 0 = 1

Então y = 1 é assíntota horizontal.

Passo 4

Esse passo vai ser dedicado ao estudo do crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

f ' x = e 1 x . - 1 x 2 = - e 1 x x ²

Como x 2 > 0 o sinal da derivada só será afetado por - e 1 x , mas veja só, e 1 x > 0 para todo x no domínio, logo - e 1 x < 0 sempre. Ou seja

f ' x = - e 1 x x ² < 0

Como a derivada é sempre negativa, significa que a função é estritamente decrescente.

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

- e 1 x x ² = 0

- e 1 x = 0

e 1 x = 0

A equação acima não tem solução real, logo não há pontos críticos, portanto, não há máximo nem mínimo.

Passo 6

Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função. Para isso, temos que fazer a segunda derivada, lembra?

f ' ' x = - e 1 x - 1 x 2 x 2 - 2 x - e 1 x x 4 = e 1 x x 2 x 2 + 2 x e 1 x x 4 = e 1 x + e 1 x ( 2 x ) x 4 = e 1 x ( 1 + 2 x ) x 4

Note que e 1 x > 0 e x 4 > 0 então só o 1 + 2 x influencia no sinal. Vamos ver como.

1 + 2 x = 0

x = - 1 2

  • Quando x < - 1 2 : f ' ' x < 0 e a função tem concavidade para baixo
  • Quando x > - 1 2 : f ' ' x > 0 e a função tem concavidade para cima

O ponto x = - 1 2 é ponto de inflexão.

Passo 7

Pronto! Agora podemos juntar todos os dados que descobrimos e fazer o esboço do gráfico, que fica assim:

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas