Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico de

f x = e - 1 / x 2 x

Passo 1

Para começar, vamos determinar o domínio da função. A única restrição é para o ponto x = 0 , pois o denominador se torna nulo. Então o domínio é

D = R *

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

  • f x = f ( - x ) ?
  • Não.

  • f - x = - f ( x ) ?

Sim.

Passo 3

Agora temos que determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos o ponto x = 0 . Vamos fazer os limites laterais tendendo a esse ponto.

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x = lim x → 0 + ⁡ 1 x e 1 / x 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 x e 1 / x 2 → L ' H lim x → 0 + ⁡ - 1 x ² - 2 e 1 x 2 x ³ = lim x → 0 + ⁡ x 2 e 1 x 2 = 0

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

Então a função não possui assíntota vertical.

Agora vamos ver as assíntotas horizontais

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

Então y = 0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Agora vamos ver crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

f ' x = e - 1 x 2 ( x 2 - 2 ) x 4

Como x 4 > 0 , o sinal da derivada só será afetado por e - 1 x 2 ( x 2 - 2 ) . Mas veja que também e - 1 x 2 > 0 , então, na verdade , o sinal da derivada só depende de x 2 - 2 . Pelo estudo do sinal de x 2 - 2 concluímos que a função é decrescente para

x < - 2   e   x > 2

e crescente para

- 2 < x < 2

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

x 2 - 2 = 0

x = - 2   e   x = 2

Como a derivada muda de positiva para negativa em x = - 2 , significa que esse é um máximo local da função. Já x = 2 é um mínimo local da função.

Como

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

e f 2 = 2 2 e , podemos afirmar que x = 2 constitui um máximo absoluto da função. Por outro lado, sabemos que

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

e f - 2 = - 2 2 e . Portanto, x = - 2 é um mínimo absoluto da função.

Passo 6

Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade. Bora fazer a segunda derivada.

f ' ' x = 2 e - 1 x 2 ( x 4 - 5 x 2 + 2 ) x 7

Eita! Fazer o estudo de sinal desse negócio vai ser uma tarefa bem difícil, pra não dizer impossível. Então, vamos pular essa etapa e usar as informações que já temos para deduzir a concavidade da função.

Bom, quando x → - ∞ a partir de x = - 2 sabemos que a função tenderá a zero, sem nunca realmente chegar a esse valor. Se nesse trecho a concavidade fosse para baixo, alguma hora o gráfico ia cruzar o eixo x , contrariando o que foi dito acima. Então, a concavidade aí tem que ser para baixo, pois assim o gráfico não encosta no eixo x .

O mesmo raciocínio vale para x → + ∞ a partir de x = 2 , mas nesse caso a concavidade tem que ser para cima a fim de que a função nunca enconste no eixo x .

No intervalo - 2 < x < 2

sabemos que a função é crescente, mas não podemos afirmar muita coisa sobre a concavidade, então vamos desenhar da maneira que for mais conveniente de acordo com o resto do gráfico.

Passo 7

O esboço do gráfico fica assim:

Passo 8

Resposta

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