2) Esboce o gráfico de

f x = x 2 ln ⁡ x

Considerando: domínio, interseções com os eixos, limites necessários, regiões de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, regiões de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Nesse exercício criaremos o gráfico da função x 2 ln ⁡ x , certo?

Como o próprio exercício sugere, vamos seguindo as considerações e encontraremos o gráfico sem dificuldade. Ou seja, vamos definir o domínio, interseções, limites e todo o resto seguindo a própria ordem proposta no exercício.

Então bora trabalhar?

Passo 2

Começando pelo domínio.

Como a função possui ln ⁡ x , precisamos observar o seguinte:

Essa é uma função definida no intervalo ( 0 ,   ∞ ) , lembrando que zero não está no intervalo. Portanto não há valores negativos possíveis assim como o zero.

Portanto o domínio é:

( 0 ,   ∞ )

Passo 3

Nesse passo, falaremos sobre a interseção com o eixo x .

Mais uma vez, observaremos a função ln ⁡ x :

Essa função tem valores negativos no intervalo ( 0 ,   1 ) , lembrando que esse intervalo não engloba 1 , já que ln ⁡ 1 = 0 .

Levando esse intervalo em conta, vamos pegar dois valores bem próximos dos limites e ver o que acontece com nossa função:

Primeiro, x = 0,001 :

y = 0,001 2 * ln ⁡ 0,001

y = - 0,00 000 690775

Concluímos que o gráfico corta o eixo x a primeira vez em uma região bem próxima de x = 0 e assume valores de y negativo.

Agora, x = 0,999 :

y = 0,999 2 * ln ⁡ 0,999

y = - 0,00099 850

Concluímos que o gráfico corta o eixo x pela segunda vez em uma região onde x = 1 .

Passo 4

O próximo item é o limite. Olhando para o nosso domínio, vemos o infinito positivo para a direita e intervalo aberto em 0 a esquerda. Esse intervalo aberto em 0 é um ponto possível de assíntota. Vamos verificar?

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ 0

Esse limite pela direita é uma assíntota vertical no nosso gráfico. Essa informação é importantíssima para a construção do gráfico.

Passo 5

Encontraremos agora o ponto de máxima/mínima.

Para isso, precisamos derivar a função:

2 x * ln ⁡ x + x

Obs.: Derivamos utilizando pela regra da cadeia.

Agora, vamos igualar essa derivada a 0 :

2 x * ln ⁡ x + x = 0

2 x * ln ⁡ x = - x

ln ⁡ ( x ) = - 1 2

e ln ⁡ x = e - 1 2

x = e - 1 2

x = 1 e 1 2

Essa é a coordenada x do ponto que estamos procurando.

Aplicando na função original:

y = 1 e 2 * ln ⁡ 1 e

y = 1 e ln ⁡ e e

y = - 1 2 e

Pronto, conhecemos o ponto:

1 e , - 1 2 e

Para sabermos se é de máxima ou de mínimo, vamos avaliar a segunda derivada de y :

y ' ' = 2 * ln ⁡ 1 e + 3

y ' ' = 2

Como a segunda derivada retornou um valor positivo, esse ponto é de mínimo.

Passo 6

Agora que temos todas essas informações, podemos traçar o gráfico:

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento do exercício.

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