Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x - 1 x 2 / 3

Passo 1

A função f ( x ) pode ser escrita da seguinte maneira

f x = x - 1 x ² 3

Como se trata de um polinômio e a raiz cubica não tem restrições, o domínio é

D = R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A função não é par, pois f ( x ) ≠ f ( - x ) . A função também não é ímpar, porque f - x ≠ - f ( x )

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Já que f está definida em todo o conjunto dos reais, não há pontos candidatos a serem assíntotas verticais.

Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 x ² 3 = ∞ . ∞ = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x ² 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 5 / 3 - x 2 / 3 = - ∞ - ∞ = - ∞ - ∞ = - ∞

Como que os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.

Passo 4

A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua. Assim, f ( x ) é contínua em R .

Passo 5

Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como

f ' x = x 2 / 3 + x - 1 2 x - 1 3 3 = x 2 / 3 + x - 1 2 3 x 1 / 3 = 5 x - 2 3 x 3

f ' x = x 2 3 3 x 1 3 3 x 1 3 + 2 x - 1 3 x 1 3 = 3 x 3 3 3 x 1 3 + 2 x - 2 3 x 1 3 = 3 x 3 x 1 3 + 2 x - 2 3 x 1 3

f ' x = 3 x + 2 x - 2 3 x 1 3 = 5 x - 2 3 x 1 3 = 5 x - 2 3 x 3

então o único ponto em que a derivada não está definida é em x = 0 . Logo, x = 0   é a reta tangente vertical ao gráfico.

Passo 6

Para definir se a função é crescente ou decrescente, temos que analisar o sinal da derivada: onde ela é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Já temos a derivada:

f ' x = 5 x - 2 3 x 3

Agora temos que analisar o sinal da derivada. O quadrinho abaixo mostra quando a derivada é positiva e negativa.

Portanto,

  • f é crescente no intervalo - ∞ , 0 ⋃ 2 5 , + ∞
  • f é decrescente no intervalo 0 , 2 5

Passo 7

Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo f ' x = 0 .

Nesse caso, temos que apenas x = 2 5 satisfaz isso. Como a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto, ele é um mínimo local.

Passo 8

Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' ' x = 15 x 3 - 5 x - 2 x ² 3 9 x ² 3 = 10 x + 2 9 x x 3

Agora, analisando o sinal, temos que

Assim, a concavidade é para baixo no intervalo - ∞ , - 1 5 e para cima no intervalo - 1 5 , + ∞ .

Então x = - 1 5 é ponto de inflexão, pois ele é o único ponto que zera a segunda derivada. Veja que 0 não é ponto de inflexão, mas ele está no quadrinho acima por ser um ponto “problemático”, ou seja, onde a segunda derivada não se define. Então é bom colocar ele nessa análise de sinal, viu?

Passo 9

Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores, menores ou iguais aos extremos relativos.

Sabemos que lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ . Como a função assume valores maiores que f 2 5 , que é extremo relativo, então ela não possui extremos absolutos.

Passo 10

A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ ,

I m = - ∞ , + ∞

Passo 11

Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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