Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x + sen ⁡ x

Passo 1

Como as duas funções que compõem f são contínuas, o domínio é

D = R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A função não é par, pois f ( x ) ≠ f ( - x ) .

A função é ímpar, porque f - x = - f ( x ) . Observe:

f - x = - x + sen ⁡ - x = - x - sen ⁡ x

- f x = - x - sen ⁡ ( x )

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Para essa função, esses pontos não existem, logo também não existem assíntotas verticais.

Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x + sen ⁡ x = ∞ + ∞ = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + sen ⁡ x = - ∞ - ∞ = - ∞

Como os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.

Passo 4

A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua. Assim, f ( x ) é contínua em R .

Passo 5

Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como

f ' x = 1 + cos ⁡ x

não há nenhum ponto em que a derivada não está definida. Logo, a função não possui reta tangente vertical ao gráfico.

Passo 6

Para definir se ela é crescente ou decrescente, temos que analisar o sinal da derivada: onde é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Já temos a derivada:

f ' x = 1 + cos ⁡ x

Agora temos que analisar o sinal da derivada. Pra isso, vamos lembrar de um coisa. Você sabe que o valor mínimo da função cosseno é - 1 , certo?. Então, consequentemente, o valor mínimo de f ' seria

1 + - 1 = 0

Portanto, se o menor valor é zero, todos os outros valores são maiores que zero, ou seja, positivos. Concluímos, então, que a derivada de f é sempre positiva e a função é crescente em todo seu domínio.

Passo 7

Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo f ' x = 0 .

Nesse caso, não há x tal que f ' x = 0 , logo não pontos críticos e não há extremos relativos.

Passo 8

Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' ' x = - sen ⁡ x

Agora, analisando o sinal, temos que

  • f ' ' x > 0 (Concavidade para cima) no intervalo π   +   2 k π ,   2 π   +   2 k π
  • f ' ' x < 0 (Concavidade para baixo) no intervalo ] 2 k π ,   π   +   2 k π [

OBS: k   ∈   Z

Então, x = π   +   2 k π e x = 2 k π são pontos de inflexão.

Passo 9

Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores, menores ou iguais aos extremos relativos.

Como a função não possui extremos relativos e lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ , ela não possui extremos absolutos.

Passo 10

A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ ,

I m = - ∞ , + ∞

Passo 11

Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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