Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 3 x 2 4 - 4 x + x 2

Passo 1

- A gente sabe que denominador não pode ser zero, correto? Então a função ali não pode assumir 4 - 4 x + x 2 = 0 , caso contrário vai dar problema. De resto, nenhum problema quanto à existência da função. Como 4 - 4 x + x 2 = 2 - x 2 , isso acontece em x = 2 . Assim,

D = R - { 2 }

- A função do numerador até é par em relação ao eixo x , porém a de baixo não tem nenhuma simetria. Essa divisão, portanto, necessariamente vai gerar uma função sem paridade nenhuma.

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Passo 2

- As assíntotas verticais estão relacionadas aos pontos onde o domínio não está definido. Usando o

lim x → 2 ⁡ f x = 12 0 = ∞ ,     x = 2   é   A s s .   V e r t i c a l

As assíntotas horizontais, por outro lado, tem a ver com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 4 - 4 x + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 4 x 2 - 4 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 3 4 x 2 - 4 x + 1 = 3

Para - ∞ o limite será o mesmo! Assim, temos que y = 3 é uma assíntota horizontal.

Passo 3

- A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua.

Assim, f ( x ) é contínua em ] - ∞ , 2   ∪   2 , + ∞ [ .

- Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical seriam aqueles pontos onde a função apresenta um crescimento ou decrescimento infinito, ou seja, nas assíntotas verticais.

Para essa f , isso só acontece em x = 2 .

Passo 4

- Para definir se a função é crescente ou decrescente, devemos olhar para o sinal de sua derivada: onde ela é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Vamos calcular a derivada:

f ' x = 6 x 4 - 4 x + x 2 - 3 x 2 ( 2 x - 4 ) 4 - 4 x + x 2 2

= 24 x - 12 x 2 x - 2 2 2

= 12 x ( 2 - x ) x - 2 4

Confere aqui no quadrinho de sinais então:

Logo, f ( x ) decresce de - ∞ até 0 e a partir de x = 2 . Entre 0 e 2 f cresce.

- Os extremos relativos acontecem onde f x = 0 .

Temos que apenas x = 0 e x = 2   satisfazem isso, porém x = 2 não faz parte do domínio. Nesse ponto, f ( x ) vai valer:

f 0 = 3 ( 0 ) 2 4 - 4 ( 0 ) + ( 0 ) 2 = 0 4 = 0

No caso, como a derivada é negativa antes e positiva depois x = 0 é um ponto de mínimo.

Passo 5

- Definimos a concavidade de acordo com o sinal da derivada segunda: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' x = 12 x ( 2 - x ) x - 2 4 = - 12 x x - 2 3

f ' ' x = - 12 x x - 2 3 '

f ' ' x = - 12 x - 2 3 - - 12 x 3 x - 2 2 x - 2 3 2

= - 12 x - 2 3 + 36 x x - 2 2 x - 2 6

= x - 2 2 - 12 x - 2 + 36 x x - 2 6

= x - 2 2 - 12 x + 24 + 36 x x - 2 6

= x - 2 2 24 x + 24 x - 2 6

= 24 x + 24 x - 2 4

= 24 x + 1 x - 2 4

Então, o nosso sinal depende do e do ( x + 1 ) , correto?

Dessa forma, a concavidade é para cima quando estamos com x > - 1 . Será côncava para baixo em x < - 1 .

x = - 1 é ponto de inflexão.

- Para pensar em extremos relativos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores ou menores que os pontos críticos (onde f ' x = 0 ).

No caso, lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = 3 e f 0 = 0 e no resto do domínio nenhum outro ponto tem um valor menor (vale lembrar que na descontinuidade temos lim x → 2 ⁡ f x = ∞ ), concluímos que x = 0 é ponto de mínimo absoluto.

- A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como seu menor valor é 0 e em x → 2 a função tende para + ∞ , sua imagem é:

I m = 0 , + ∞

Passo 6

- Agora juntamos todas as informações para desenhar o nosso gráfico:

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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