Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x 3 - 2 x

Passo 1

Sabemos que denominador não pode ser zero, certo? Então a função não está definida em x = 0 . De resto, nenhum problema quanto à existência da função. Assim,

D = R - { 0 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A função não é par, pois f ( x ) ≠ f ( - x ) . A função também não é ímpar, porque f - x ≠ - f ( x )

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Assim,

lim x → 0 + ⁡ x 3 - 2 x → lim x → 0 + ⁡ x 3 x - 2 x → lim x → 0 + ⁡ x 2 - 2 x = 0 - ∞ = - ∞

lim x → 0 - ⁡ x 3 - 2 x → lim x → 0 - ⁡ x 3 x - 2 x → lim x → 0 - ⁡ x 2 - 2 x = 0 - - ∞ = + ∞

Portanto, podemos concluir que x = 0 é assíntota vertical.

Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x = ∞ - 0 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x = ∞ + 0 = ∞

Ih! Já que os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.

Passo 4

A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua.

Assim, f ( x ) é contínua em ] - ∞ , 0   ∪   0 , + ∞ [ .

Passo 5

Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como

f ' x = 2 x + 2 x ² = 2 x 3 + 2 x ² = 2 ( x 3 + 1 ) x ²

então o único ponto em que a derivada não está definida é em x = 0 . Porém, esse ponto não faz parte do domínio da função, logo f não possui pontos em seu domínio onde a tangente é vertical.

Passo 6

Para definir se a função é crescente ou decrescente, devemos olhar para o sinal de sua derivada: onde ela é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Já temos a derivada:

f ' x = 2 x 3 + 2 x ² = 2 ( x 3 + 1 ) x ²

Agora temos que analisar o sinal da derivada. Note que ele só depende de   2 ( x 3 + 1 ) , pois o denominador é sempre positivo. Vamos primeiro ver quando a derivada é positiva:

2 x 3 + 1 > 0

x 3 + 1 > 0

x 3 > - 1

x > - 1

Agora quando ela é negativa:

2 x 3 + 1 < 0

x 3 + 1 < 0

x 3 < - 1

x < - 1

Também temos que analisar o sinal nas proximidades de x = 0 , pois é onde a derivada não existe.

Para x → 0 + temos que f ' ( x ) → + ∞ e para x → 0 -   t e m o s   q u e   f ' ( x ) → + ∞ .

Logo,

  • f ( x ) decresce no intervalo - ∞ ,   - 1
  • f ( x ) cresce no intervalo - 1 ,   + ∞

Passo 7

Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo f ' x = 0 .

Nesse caso, temos que apenas x = - 1 satisfaz isso. Como a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto, ele é um mínimo local. Nele, f ( x ) vai valer:

f - 1 = - 1 3 - 2 - 1 = - 3 - 1 = 3

Passo 8

Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' ' x = 2 ( 3 x 2 ) x 2 - 2 ( 2 x ) ( x 3 + 1 ) x 4 = 6 x 4 - 4 x 4 - 4 x x 4 = 2 x 4 x 4 - 4 x x 4 = 2 - 4 x ³

Agora, analisando o sinal, temos que f ' ' x é positiva quando

2 - 4 x ³ > 0

4 x 3 < 2

x 3 > 2

x > 2 3

E negativa quando

2 - 4 x ³ < 0

4 x ³ > 2

x 3 < 2

x < 2 3

Além disso, temos que analisar seu sinal perto do ponto x = 0 , onde f ' ' ( x ) não está definida.

Para x → 0 + temos que f ' ' x → - ∞ e para x → 0 -   t e m o s   q u e   f ' ' x → + ∞ .

Então, resumindo essa análise de sinal em um esquema, podemos ver que

Assim, a concavidade é para cima quando x < 0 e x > 2 3 e para baixo no resto do domínio.

Passo 9

Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores ou menores que os extremos relativos.

No caso, lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ e f - 1 = 3 . Como a função assume valores maiores que 3 ao longo do domínio, então x = - 1 não é mínimo absoluto.

Passo 10

A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ ,

I m = - ∞ , + ∞

Passo 11

Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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