Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

3) Esboce o gráfico de uma função f : I R - - 2 → I R que satisfaça as seguintes condições:

  • f é contínua em todo o seu domínio
  • f é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1
  • f é decrescente no intervalo 1 , + ∞
  • lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞
  • lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞
  • lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x = 1
  • lim x → 1 ⁡ f x = 3
  • Passo 1

    Essa questão facilita a nossa vida no esboço porque ela nos dá tudo, viu? Só vamos precisar interpretar direitinho. Então bora lá. Vamos começar com o domínio:

    D o m f = I R - - 2

    Veja então que a função está definida para qualquer x real menos x = - 2 . Graficamente, isso quer dizer duas coisas:

    Ou a função tem essa cara e x = - 2 simplesmente não está definido...

    ...ou x = - 2 é uma assíntota vertical! Já deu pra ver que vamos precisar ficar de olho nas assíntotas né? Então vamos buscar elas

    Passo 2

    Beleza. Pra buscar assíntotas, temos que lembrar que precisamos fazer limites. Então vou trazer de volta alguns dos limites do enunciado.

    lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞

    lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞

    Mas porque estamos olhando só pra esses dois? Porque, veja bem, em uma função sem assíntotas nenhuma, nem vertical nem horizontal, seja a pertencente ao domínio de f x :

    lim x → a ⁡ f x = f a

    lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± ∞

    Agora, se existem assíntotas verticais, o limite para x tendendo ao número, vai ser infinito ou menos infinito e se existem assíntotas horizontais, o limite pros infinitos serão números. Show, se:

    lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞

    lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞

    Então de fato:

    x = - 2 → A s s í n t o t a   V e r t i c a l

    E veja bem, se x se aproxima de - 2 pela esquerda (valores menores que - 2 ), o limite é diferente do x se aproximando pela direita (valores maiores). Sendo a função ainda, segundo o enunciado, crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1 , acaba que, graficamente, temos algo semelhante à:

    Show, agora vamos ver as assíntotas horizontais. Temos sim informações sobre elas ó:

    lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

    Maravilha, nossa única assíntota horizontal vai ser então:

    y = 1

    E usando essas informações, já da pra fazer um pré esboço:

    Passo 3

    Ok, mas não sentiu falta de um limite não? O que faremos com esse aqui:

    lim x → 1 ⁡ f x = 3

    A primeira coisa que podemos notar nesse limite, é que se a pertence ao domínio de f x , então:

    lim x → a ⁡ f x = f a

    Opa, não é que o limite que faltou se encaixa nesse modelo? Podemos afirmar então que:

    1,3

    É um ponto da nossa curva. Vamos marcar ele então no nosso esboço:

    Passo 4

    Pra fechar, vamos olhar pras informações sobre intervalo de crescimento e decrescimento

  • f é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1
  • f é decrescente no intervalo 1 , + ∞

Ou seja, saindo de x = - 2 a função tem que crescer até alcançar o ponto que a gente já sabe que ele passa:

1,3

O esboço vai ficar:

E depois desse ponto, como a função decresce, traçamos uma linha até y = 1 , assíntota horizontal, mas sem nunca tocar nela, ok?

E taí! Questão finalizadíssima. Agora é só partir pro abraço.

Passo 1

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Resposta

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