Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

e )   f x = x 3 x - 1 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 3 x - 1 2

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: 0,1   e   ( 3 , + ∞ )
  • Decrescente: ( 1,3 )  
  • Ponto de inflexão: x = 0 e x = 1
  • Ponto de mínimo: x = 3
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = x 3 x - 1 2

    Calculando o limite quando x → + ∞ , podemos desconsiderar aquele - 1 do denominador

    lim x → + ∞ ⁡ x 3 x - 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 = + ∞

    E para x → - ∞ podemos proceder de forma similar

    lim x → - ∞ ⁡ x 3 x - 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 = - ∞

    Ou seja, não temos assíntotas horizontais!

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = x 3 x - 1 2

    Como temos um denominador que zera em x = 1 precisamos analisar os limites em torno desse ponto!

    lim x → 1 - ⁡ x 3 x - 1 2 = 1 0 + = + ∞

    lim x → 1 + ⁡ x 3 x - 1 2 = 1 0 + = + ∞

    Temos uma assíntota vertical em x = 1

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = x 3 x - 1 2

    Ela tem de características:

  • Crescente: 0,1   e   ( 3 , + ∞ )
  • Decrescente: ( 1,3 )  
  • Ponto de inflexão: x = 0 e x = 1
  • Ponto de mínimo: x = 3
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    
  • Não possui assíntotas horizontais
  • Assíntota vertical em x = 1
  • f 0 = 0

E é isso! Até mais!

Resposta

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