Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f )   f x = ln ⁡ x x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = ln ⁡ x x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = ln ⁡ x x

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

E onde ela é zero

f ' x = 0

1 - ln ⁡ x x 2 = 0 → 1 - ln ⁡ x = 0

x = e  

E precisamos analisar em torno de   0 pois nesse ponto a função não está definida

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = e temos uma mudança na derivada, de valores positivos para negativos. Sendo assim temos um ponto de máximo!

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: 0 , e  
  • Decrescente: ( e ,   + ∞ )  
  • Ponto de máximo: x = e
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

    f ' ' x = - 3 - 2 ln ⁡ x x 3

    Agora igual a zero

    3 - 2 ln ⁡ x x 3 = 0 → 3 - 2 ln ⁡ x = 0

    ln ⁡ x = 3 2 → x = e 3 / 2  

    Analisando o sinal em torno desse ponto (e em torno onde a função não está definida):

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: e 3 / 2 , + ∞
    • Côncava para baixo: 0 , e 3 / 2    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: 0 , e  
  • Decrescente: ( e ,   + ∞ )  
  • Ponto de máximo: x = e
  • Côncava para cima: e 3 / 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: 0 , e 3 / 2    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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