Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

j )   f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

  f x = x 2 ln ⁡ x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: ( 1 / e , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 / e )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 / e
  • Côncava para cima: 1 e 3 , + ∞
  • Côncava para baixo: 0 , 1 e 3    

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

  f x = x 2 ln ⁡ x

Calculando o limite quando x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = + ∞

Sendo assim para grandes valores de x não temos uma assíntota horizontal

Beleza?

A função não está definida para x → - ∞

Passo 3

Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

  f x = x 2 ln ⁡ x

Como temos que o logaritmo tem uma assíntota em x = 0 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → 0 +

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 0 . ∞

Precisamos arrumar para avaliar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 = ⏝ L ' h o s p i t a l lim x → 0 + ⁡ 1 x . - x 3 2 = lim x → 0 + ⁡ - 2 x 2

= 0

Temos que f 0 + = 0 . Além disso temos uma raiz em x = 1

Passo 4

Bora construir o gráfico?

f x = x 2 ln ⁡ x

Ela tem de características:

  • Decrescente: ( 0,1 / e )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 / e
  • Côncava para cima: 1 e 3 , + ∞
  • 0 , 1 e 3    
  • f 0 + = 0

E é isso! Até mais!

Resposta

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