Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

m )   f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

f ' x = 8 [ 1 - 2 ln ⁡ ( x + 3 ) ] x + 3 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

1 - 2 ln ⁡ x + 3 = 0

x + 3 = e → x = e - 3

Vamos analisar o sinal da derivada em torno desse ponto e de - 3 , pois ali temos uma descontinuidade! Lembrando que para essa função o domínio é x > - 3

Vemos que a derivada troca de sinal em e - 3 , então ali temos um ponto de máximo!

Beleza?

Podemos ver onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: - 3 , e - 3
  • Decrescente: ( e - 3 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = e - 3
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 8 [ 1 - 2 ln ⁡ ( x + 3 ) ] x + 3 3

    f ' ' x = - 8 [ 7 - 3 ln ⁡ ( x + 3 ) ] x + 3 4

    f ' ' = 0 → 7 - 3 ln ⁡ ( x + 3 ) = 0

      x = e 7 / 3 - 3  

    Analisando o sinal da segunda derivada temos

    Vemos que a função troca de concavidade! Sendo assim, quanto ao sinal da concavidade:

    • Côncava para baixo: - 3 , e 7 / 3 - 3  
    • Côncava para cima: e 7 / 3 - 3 , + ∞

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: - 3 , e - 3
  • Decrescente: ( e - 3 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = e - 3
  • Côncava para baixo: - 3 , e 7 / 3 - 3  
  • Côncava para cima: e 7 / 3 - 3 , + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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