Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

m ) f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - 3 , e - 3
  • Decrescente: ( e - 3 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = e - 3
  • Côncava para baixo: - 3 , e 7 / 3 - 3  
  • Côncava para cima: e 7 / 3 - 3 , + ∞
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2 = 0

    Sendo assim para grandes valores de x temos uma assíntota horizontal em y = 0

    E para - ∞ a função não está definida!

    ok?

    Então nossa assíntota é só para a direita!

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

      f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

    Como temos que o denominador zera em x = - 3 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → - 3 + (já que pelo lado esquerdo ela não está definida)

    lim x → - 3 + ⁡ 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2 = - ∞ 0 + = - ∞

    Temos que x = 0 é uma assíntota vertical pela direita.

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

    Ela tem de características:

  • Crescente: - 3 , e - 3
  • Decrescente: ( e - 3 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = e - 3
  • Côncava para baixo: - 3 , e 7 / 3 - 3  
  • Côncava para cima: e 7 / 3 - 3 , + ∞
  • Assíntota vertical: x = 0 pela direita
  • Assíntota horizontal: y = 0 para direita

E é isso! Até mais!

Resposta

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