Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

q )   f x = x x - 1 2 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x x - 1 2 3

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x x - 1 2 3

f ' x = 3 x 2 - 4 x + 1 3 x x - 1 2 2 / 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

3 x 2 - 4 x + 1 = 0

x = 1   e   x = 1 3

Vamos analisar em torno desses pontos o sinal da derivada! Lembrando que em x = 1   e   x = 0 a derivada não existe, então ali temos uma descontinuidade. De qualquer forma, precisamos analisar o sinal da função em torno desses pontos

Temos um ponto de máximo em x = 1 / 3 porque a derivada passou de valores positivos para negativos. Em torno de x = 1 aparentemente temos um mínimo, mas não se engane! A função derivada não está definida ali! Então precisamos analisar o limite da função em tono desse ponto e a derivada segunda para caracterizar a função ali!

Beleza?

Podemos ver onde a função é crescente e decrescente:

  • Decrescente: 1 3 ,   1
  • Crescente: - ∞ , 0 U 0 , 1 3 U 1 , + ∞
  • Ponto de máximo: x = 1 / 3
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 3 x 2 - 4 x + 1 3 x x - 1 2 2 / 3

    f ' ' x = - 2 x 2 + 4 x - 2 9 x x - 1 2 5 / 3

    f ' ' = 0 → - 2 x 2 + 4 x - 2 = 0

    x = 1

    Temos apenas um ponto que a função troca sua concavidade: e é bem onde a derivada não está definida! Isso pode indicar que temos um bico! Vamos olhar o sinal ali e em torno do zero:

    De fato, temos um ponto em que temos uma troca de concavidade, mas não era no 1 ! Significa cada vez mais que ali temos um bico mesmo! Mas vamos confirmar com o limite lateral!

    Já em x = 0 temos uma troca de concavidade! Assim nossa função

    • Côncava para cima: - ∞ , 0
    • Côncava para baixo: ( 0 , 1 ) U ( 1 , + ∞ )

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Decrescente: 1 3 ,   1
  • Crescente: - ∞ , 0 U 0 , 1 3 U 1 , + ∞
  • Ponto de máximo: x = 1 / 3
  • Côncava para cima: - ∞ , 0
  • Côncava para baixo: ( 0,1 ) U ( 1 , + ∞ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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