Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

q )   f x = x x - 1 2 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x x - 1 2 3

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Decrescente: 1 3 ,   1
  • Crescente: - ∞ , 0 U 0 , 1 3 U 1 , + ∞
  • Ponto de máximo: x = 1 / 3
  • Côncava para cima: - ∞ , 0
  • Côncava para baixo: ( 0,1 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = x x - 1 2 3

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ x x - 1 2 3 = ∞

    E para x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x x - 1 2 3 = - ∞

    Sendo assim, não temos assíntotas horizontais nos dois lados!

    ok?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

      f x = x x - 1 2 3

    Essa função não tem descontinuidade! Apenas sua derivada! Sendo assim, não temos assíntota vertical! Analisando a função e a derivada primeira em x = 0 temos

    lim x → 0 - ⁡ x x - 1 2 3 = 0 = lim x → 0 + ⁡ x x - 1 2 3

    lim x → 0 + ⁡ 3 x 2 - 4 x + 1 3 x x - 1 2 2 3 = lim x → 0 + ⁡ 3 x 2 3 x 2 = 1

    E para o lado esquerdo

    lim x → 0 - ⁡ 3 x 2 - 4 x + 1 3 x x - 1 2 2 3 = lim x → 0 - ��� 3 x 2 3 x 2 = 1

    Temos que a derivada tem limites laterais e eles valem o mesmo número, isso indica ponto de inflexão: a função troca de concavidade, mas sua derivada segue sendo positiva!

    Agora olhando em torno de x = 1 :

    A função

    lim x → 1 - ⁡ x x - 1 2 3 = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 2 3 = 0

    E a derivada

    lim x → 1 - ⁡ 3 x 2 - 4 x + 1 3 x x - 1 2 2 3 = ⏝ L ' h o s p i t a l lim x → 1 - ⁡ 6 x - 4 2 3 x 2 - 4 x + 1 3 = 0 -

    E para o lado direito vamos encontrar 0 + , isso significa que temos sim um bico!

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = x x - 1 2 3

    Ela tem de características:

  • Decrescente: 1 3 ,   1
  • Crescente: - ∞ , 0 U 0 , 1 3 U 1 , + ∞
  • Ponto de máximo: x = 1 / 3
  • Côncava para cima: - ∞ , 0
  • Côncava para baixo: ( 0,1 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Bico em x = 1 ; Ponto de inflexão em x = 0

E é isso! Até mais!

Resposta

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