Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

b )   f x = 3 + x x 2 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 + x x 2 + 1

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = 3 + x x 2 + 1

f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

E onde ela é zero

f ' x = 0

- x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

x = ± 1

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = - 1 temos um ponto de mínimo e que em x = 1 um ponto de máximo.

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: - 1 , + 1
  • Decrescente: - ∞ , - 1   e   ( 1 , + ∞ )
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

    f ' ' x = - 2 x ( - x 2 + 3 ) x 2 + 1 3

    Agora igual a zero

    - 2 x ( - x 2 + 3 ) x 2 + 1 3 = 0 → 2 x ( - x 2 + 3 ) = 0

    x = 0   e   x = ± 3

    Analisando o sinal em torno desse ponto:

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: - 3 , 0     e   3 , + ∞
    • Côncava para baixo: - ∞ , - 3   e   0 , 3

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: - 1 , + 1
  • Decrescente: - ∞ , - 1   e   ( 1 , + ∞ )
  • Côncava para cima: - 3 , 0     e   3 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 3   e   0 , 3
  • Mínimo local: x = - 1 ,   máximo local: x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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