Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico de

f x = x e - x

Passo 1

Reescrevendo a função ela fica com essa cara:

f x = x e x

Como e x > 0 , a função não possui restrições para o domínio. Logo,

D = R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

f x = f ( - x ) ?

Não.

f - x = - f ( x ) ?

Não.

Passo 3

Agora temos que determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso, não temos.

Agora as assíntotas horizontais.

lim x → + ∞ ⁡ x e x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0  

lim x → - ∞ ⁡ x e x = - ∞ 1 e ∞ = - ∞ ∞ = - ∞

y = 0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Agora vamos ver crescimento da função, analisando o sinal da derivada.

f ' x = e x - x e x e 2 x = 1 - x e x

Estudando o sinal da derivada temos o seguinte:

f ' x < 0 para x > 1 ⟹ DECRESCENTE

f ' x > 0 para x < 1 CRESCENTE

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

x = 1

Como a derivada muda de positiva para negativa em x = 1 , significa que esse é um máximo local da função. Nesse ponto a função vale

f 1 = 1 e 1 = 1 e

Podemos descobrir se ele é um máximo absoluto comparando o valor da função nesse ponto com os valores da função nas fronteiras do domínio. Como

lim x → - ∞ ⁡ x e x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0

significa que x = 1 é máximo absoluto, pois

1 > 0 > - ∞

Passo 6

Falta estudar a concavidade da função.

f ' ' x = - e x - 1 - x e x e 2 x = x - 2 e x

Analisando o sinal:

f ' ' x = x - 2 e x > 0

x > 2

e

f ' ' x = x - 2 e x < 0

x < 2

Portanto:

- Quando x > 2 a função tem concavidade para cima

- Quando x < 2 a função tem concavidade para baixo

- O ponto x = 2 é de inflexão.

Passo 7

Finalmente podemos esboçar o gráfico!

Passo 8

Passo 9

Resposta

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