Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

f x = 2 x 3 x 2 - 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos que o denominador não pode ser zero, ou seja:

x 2 - 1 ≠ 0 ∴

x ≠ ± 1

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

2 x 3 x 2 - 1 = 0 ∴

2 x 3 = 0 ∴

x = 0

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 2 0 3 0 2 - 1 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = 2 - x 3 - x 2 - 1 = - 2 x 3 x 2 - 1

Logo, vemos que f x apresenta simetria ímpar.

Passo 5

Para verificarmos se a função apresenta assíntotas verticais, vamos fazer o denominador se anular, temos:

x 2 - 1 = 0 ∴

x = ± 1

A função apresenta assíntotas verticais em x = ± 1 .

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x 2 x 3 x 2 - 1 = 2 x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

2 x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 = 0 ∴

x = ± 3

Assim, observamos que:

f x   c r e s c e n t e   p a r a   x < - 3 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a   - 3 < x < - 1 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a - 1 < x < 1 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a   1 <   x < 3 f x   c r e s c e n t e   p a r a   x > 3

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' ' x = 4 x x 2 + 3 x 2 - 1 3

Pelo passo 6, descobrimos que x = ± 3 são pontos críticos. Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:

f ' ' 3 = 4 3 3 2 + 3 3 2 - 1 3 = 3

f ' ' - 3 = 4 - 3 - 3 2 + 3 - 3 2 - 1 3 = - 3

Logo, vemos que o mínimo está em - 3 , - 3 e o máximo em 3 , 3 .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2