Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

c)

f x = x e x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Como não há nenhum tipo de restrição para essa função f x = x e x , então o domínio são todos os números reais.

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

x e x = 0 ∴

x = 0

Obs: não podemos afirmar que e x = 0 pois a função exponencial é estritamente positiva.

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 0 * e 0 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = - x e - x

Logo, vemos que f x não apresenta simetria.

Passo 5

Para determinar se há assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função à medida que x se aproxima de infinito ou menos infinito.

Como e x sempre irá crescer no infinito, então não há assíntotas horizontais.

A função também não apresenta assíntotas verticais também por conta do exponencial e x .

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x x e x = e x 1 + x

e x 1 + x = 0 ∴

x = - 1 e x = 0

Assim, observamos que:

f x   d e c r e s c e   p a r a   x < - 1 f x   c r e s c e   p a r a - 1 < x < 0 f x   d e c r e s c e   p a r a   x > 0

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' ' x = e x x + 2

Pelo passo 6, descobrimos que x = - 1 e x = 0 são pontos críticos. Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:

f ' ' - 1 = e - 1 - 1 + 2 = e - 1

f ' ' 0 = e 0 0 + 2 = 2

Logo, vemos que o mínimo está em - 1 , e - 1 e o máximo em 0,2 .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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