Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

f)

f x = x x - 4 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Como não há nenhum tipo de restrição para essa função f x = x x - 4 3 , então o domínio são todos os números reais.

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

x x - 4 3 = 0 ∴

x = 0

x - 4 3 = 0 ∴

x = 4

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 0 0 - 4 3 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = - x ( - x ) - 4 3

Logo, vemos que f x não tem simetria.

Passo 5

Para determinar se há assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função à medida que x se aproxima de infinito ou menos infinito.

Assim, não tem assíntotas horizontais pois a função continua crescendo para x → ∞ .

A função também não tem assíntotas verticais pois:

f x = x x - 4 3

Com isso, vemos que quando menor colocamos um valor de x , a função continua aumentando cada vez mais.

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x x x - 4 3 = x - 4 3 + 3 x x - 4 2

x - 4 3 + 3 x x - 4 2 = 0 ∴

x = 4 e x = 1

Assim, observamos que:

f x   d e c r e s c e   p a r a   - ∞ , 1 f x   c r e s c e   p a r a   ( 1,4 ) f x   c o n s t a n t e   p a r a 4 f x   c r e s c e   p a r a   ( 4 , ∞ )

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' ' x = 12 x 2 - 72 x + 96

Pelo passo 6, descobrimos que x = 1 é um ponto crítico.

Vamos substituir em f x :

f 4 = 1 1 - 4 3 = - 27

Logo, temos um ponto de mínimo em ( 4,27 ) .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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