Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

g)

f x = x x - 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos que o denominador não pode ser 0 , logo:

x - 1 ≠ 0 ∴

x ≠ 1

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

x x - 1 = 0 ∴

x = 0

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 0 0 - 1 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = - x - x - 1

Logo, vemos que f x não tem simetria.

Passo 5

Uma assíntota vertical ocorre quando o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não. No caso de f x = x x - 1 ​, a assíntota vertical ocorre quando x = 1 , pois isso faria o denominador x - 1 igual a zero.

À medida que x se aproxima de ± ∞ , o termo x no numerador domina. Isso significa que, para valores muito grandes de x , a função se aproxima de f x ≈ x x   ​ = 1 e para valores muito pequenos de x , a função se aproxima de f x ≈ x x   ​ = 1 .

Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x x x - 1 = - 1 x - 1 2

Analisando o domínio de f ' x , vemos que x = 1 é um ponto com f ' x indefinido.

Assim, observamos que:

f x   d e c r e s c e   p a r a   x < 1 f x   d e c r e s c e   p a r a   x > 1

Passo 7

Pelo passo 6, não conseguimos descobrir um ponto crítico, pois a função f x é indefinida em x = 1 .

Dessa forma, a nossa função não possui máximos ou mínimos.

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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