Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-

cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assíntotas (caso

existam).

f ( x )   =   2 x x 2 - 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para fazer um estudo qualitativo da função, vamos estudar sua derivada, que nos dá os intervalos em que a função cresce, decresce e seus pontos de extremo. Também vamos verificar o comportamento da função quando a variável x vai à + ∞ ou - ∞ e procurar pontos onde f(x) vai a infinito. De cara, olhando para o denominador da função, vemos que, no intervalo [-1,1] a função não possui valor real, pois temos um denominador que será ou nulo ou então a raíz de um número negativo. Então, vamos restringir o estudo da função no intervalo ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) . Vamos lá então?

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada da função f(x). Identificando as funções h ( x ) = 2 x e g ( x ) =   ( x 2 - 1 ) 1 2 , podemos escrever a derivada de f(x) através da regra do quociente. Como h ' ( x ) = 2 e g ' ( x ) = x ( x 2 - 1 ) - 1 2 , podemos escrever a derivada de f(x) como

f ' ( x ) = h ' ( x ) g ( x ) - h ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2 =   2 x 2 - 1   -   2 x 2 ( x 2 - 1 ) - 3 2 x 2 - 1

Como fora do intervalo [-1,1] o denominador x 2 - 1 é sempre positivo, quem irá ditar o sinal da derivada e, consequentemente, se a função cresce ou decresce, é o numerador. Então, a gente quer determinar em quais intervalos a derivada é positiva, em quais ela é negativa e se ela é nula em algum ponto. Primeiro vamos procurar o intervalo onde a derivada seja nula ou positiva. Para isso, fazemos

x 2 - 1   -   x 2 x 2 - 1   ≥ 0

Multiplicando os dois lados da desigualdade por x 2 - 1   , obtemos

x 2 - 1   -   x 2   ≥ 0

Com isso, chegamos ao resultado absurdo de que -1 é maior ou igual à zero! Então, não existe nenhum valor de x para o qual a função seja crescente ou tenha um ponto de extremo. Em todos os pontos, sua derivada é negativa. Agora, vamos analisar o que acontece com a função quando ela se aproxima dos limites do intervalo ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) . Bora lá!

Passo 3

Para estudar o limite da função quando ela vai a infinito, primeiro colocaremos o termo x 2 do denominador em evidência.

f ( x )   =   2 x x 2 - 1 = 2 1 - 1 x 2  

Assim, se tiramos o limite da expressão acima, vamos ter que o termo 1 x 2 irá à zero tanto quando x for a mais infinito quanto para menos infinito. Então, no limite x → ± ∞ , temos que, em módulo

l i m x → ± ∞ 2 1 - 1 x 2 = 2

Devido ao sinal do numerador, para valores negativos de x, temos que a função tende à -2 enquanto que para valores positivos de x, a função tende a 2. Logo, temos duas assíntotas horizontais: ± 2 , pois a função tende mas nunca atinge esses valores. Agora, para os valores da função quando x se aproxima de ± 1 , temos que o denominador x 2 - 1 será muito próximo de zero, de modo que a função, em módulo, terá um valor muito grande. Mas, há uma pequena diferença devido ao numerador: o numerador 2x irá ditar o sinal da função e, portanto, se ela tende à mais ou a menos infinito. No caso de x → - 1 , temos

l i m x → - 1 =   2 x x 2 - 1 → - 2 0 → - ∞

E para Recapitulando tudo que concluímos até aqui: temos uma função que, quando x → - ∞ está próxima de -2 e sempre decrescendo conforme aumentamos x. Quando x se aproxima de -1, a função tende a - ∞ rapidamente. Aí, no intervalo [-1,1], a função não está definida. Quando x está bem próximo de 1 pelo lado esquerdo, a função tende à + ∞ , mas sempre decrescendo. Até que, quando x → ∞ , a função tende à 2 mas nunca alcança esse valor. Então, temos que essa função possui duas assíntotas horizontais ( ± 2 ) e duas assíntotas verticais, onde seu valor vai em módulo à infinito. Dá uma olhada em como é gráfico da função:

Resposta

No decorrer da questão.

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