Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

A figura abaixo representa o gráfico de uma função y = f x .

A figura que mais se aproxima do gráfico de uma primitiva de y = f x é:

a)

b)

c)

d)

e)

Passo 1

Vamos entender o que a gente tem e o que ele quer. Se uma função F x é primitiva de uma função f x , a gente pode dizer que:

∫ f x d x = F x + C

E fazendo o caminho inverso:

F ' x = f x

Essa última informação é muito interessante! O que ele está dizendo no enunciado é que a gente tem o gráfico da derivada de uma função, e através dele, a gente quer achar que função é essa.

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Passo 2

E quais são as correspondências entre esses gráficos? Onde o gráfico da derivada é positivo, nossa função F x precisa ser crescente.

E onde o gráfico da derivada é negativo, nossa função F x precisa ser decrescente.

Mas lembra que também podemos ver o sinal da derivada segunda de F x através do gráfico de sua derivada primeira.

Como? É só a gente vê onde o gráfico da derivada primeira é crescente ou decrescente. Porque com isso a gente vê o sinal de f ' x , que é o mesmo que ver o sinal de:

F ' ' x = f ' x

E com o sinal da derivada segunda de F ( x ) , podemos analisar sua concavidade.

Aí a gente pode até fazer duas tabelinhas com as informações que vamos usar

Bora lá!

Passo 3

Esse é o gráfico da nossa derivada F ' x

A gente vê que ele tem um intervalo negativo, depois um positivo e aí volta a ser negativo no finalzinho. De acordo com a nossa tabelinha:

Nossa função F x precisa ser decrescente, depois crescente e depois decrescente de novo no fim.

Passo 4

Esse é o gráfico da nossa derivada F ' x . Vamos observar agora onde ele é crescente ou decrescente. Assim a gente avalia o sinal de F ' ' x .

A gente vê que ele tem um intervalo decrescente, depois um crescente e aí volta a ser decrescente. De acordo com a nossa tabelinha:

Nossa função F x precisa ter concavidade para baixo, depois para cima e depois para baixo novamente.

Passo 5

De acordo com as informações que a gente reuniu, nossa função precisa começar sendo decrescente e com concavidade para baixo. E isso só acontece na letra b,c e d.

Vimos também que ela precisa ser decrescente, depois crescente e depois decrescente de novo no fim. E isso só ocorre na d.

Então essa vai ser a nossa resposta. 😊

Resposta

Letra d

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