O mecanismo de suspensão dos automóveis consiste num sistema composto de uma mola e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posição vertical de um veículo de massa m em relação a posição de equilíbrio, temos que a força da mola é dada, pela lei de Hooke, por F   =   - k s ( t ) e a força do amortecedor é dada por R   =   - b v ( t ) , onde v ( t ) é a velocidade instantânea e a constante b é denominada viscosidade do amortecedor. Como a força resultante é F   +   R , pela Segunda Lei de Newton, temos que

( * )   m a ( t )   =   - k s ( t )   -   b v ( t )

para t   >   0 . Suponha que, em unidades adequadas, m   =   1 ,   b   =   4 e k   =   4 e considere

s ( t )   =   - 3 t e - 2 t

(a) Calcule v ( t ) e a ( t ) e verifique que a equação ( * ) é satisfeita.

(b) Calcule os pontos críticos de s ( t ) e determine seus extremos

locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento.

(c) Determine os pontos de inflexão de s t e os intervalos

onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo.

(d) Determine as assíntotas de s ( t ) e, em seguida, esboce o seu gráfico.

Passo 1

Opa, e ae galera do responde Aí, está tudo joinha?

Aqui temos uma questão de aplicação de cálculo em física, para resolver essa questão precisamos lembrar de dois conceitos da derivada na física que são esses aqui:

d d t s t = v t

d d t v t = d d t d d t s t = a ( t )  

E são esses conceitos que vamos utilizar para resolver a questão. Mas além deles vamos precisar de outros conceitos mais puros de cálculo, que não tem relação com a física.

e ae quer uma dica?

Vamos lá, eu vou te mostrar eles.

Como vamos trabalhar com máximos e mínimos vamos precisar das seguintes regrinhas da derivada de primeira ordem.

f ' x 0 = 0 → x 0   é   u m   p o n t o   c r í t i c o

f ' x < 0 ,   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e

f ' x > 0 ,   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e

Além disso temos que identificar a concavidade, para isso precisamos de:

f ' ' x > 0     ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0   ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

E finalmente para resolver a questão, precisamos substituir os números nas letras.

a t =   - k s t -   b v t = - 4 ( s t + v t )

E agora que temos todas as informações vamos finalmente responder à questão.

Vamoooos lá.

Passo 2

Na alternativa a ) precisamos calcular a velocidade e a aceleração, para o cálculo da velocidade precisamos da seguinte informação:

v t = d d t s ( t )

A questão já nos informa uma expressão para o s ( t ) , logo temos que:

v t = d d t s t = d d t ( - 3 t e - 2 t )

Analisando a expressão temos um produto da função t com a função e - 2 t , então temos que usar a regra do produto. Logo:

v t = - 3 ( d d t t e - 2 t + t d d t e - 2 t

Para derivar a exponencial iremos precisar da regra da cadeia, logo:

v t = - 3 e - 2 t + t e - 2 t * - 2 = - 3 e - 2 t ( 1 - 2 t )

Agora precisamos calcular a aceleração, e para isso vamos utilizar essa igualdade:

d d t v t = d d t d d t s t = a ( t )  

Sendo assim:

a t = d d t v t = d d t - 3 e - 2 t 1 - 2 t = - 3 ( d d t e - 2 t 1 - 2 t + e - e t d d t 1 - 2 t )

Resolvendo as derivadas temos que:

a t = - 3 - 2 e - 2 t 1 - 2 t + e - 2 t - 2 = 6 e - 2 t 1 + 1 - 2 t = 12   e - 2 t   ( 1 - t )

Sendo assim temos que:

a t = 12 e - 2 t 1 - t

v t = - 3 e - 2 t ( 1 - 2 t )

Agora precisamos verificar a igualdade, para isso precisamos da equação que mostramos lá em cima:

a t =   - 4 ( s t + v t )

para isso vamos realizar a seguinte operação:

s t + v t = - 3 e - 2 t 1 - 2 t - 3 t e - 2 t = - 3 e - 2 t ( 1 - 5 t )

Logo temos que - 4 ( s t + v t ) não é igual a a ( t ) logo a igualdade não é válida.

Passo 3

Primeiramente, para resolver a letra b ) e c ) precisamos ter em mente as seguintes equações:

d d t s t = v t = - 3 e - 2 t ( 1 - 2 t )

d d t   d d t s t = a ( t ) = 12 e - 2 t 1 - t

E vamos precisar dos seguintes conceitos de máximos e mínimos de uma função, conceitos esses que são:

d d t s t = v ( t ) = 0

d d t   d d t s t = a ( t ) = 0

Aplicando nas duas equações que calculamos, temos que:

- 3 e - 2 t 1 - 2 t = 0

2 e - 2 t 1 - t = 0

A função exponencial ela nunca se anula, então temos que t = 1 2 é um ponto crítico conforme mostrado na primeira equação. E da segunda equação temos que t = 1 é um ponto de inflexão.

Analisando a equação da derivada de primeira ordem:

d d t s t = v t = - 3 e - 2 t ( 1 - 2 t )

Quando nós temos que t < 1 2 , a derivada se torna menor do que 0 . Logo temos que entre [ 0   , 1 2 ] a função é decrescente e quando t > 1 2 temos que a derivada é maior do que 0 logo é crescente.

E em relação a concavidade vamos analisar a derivada de segunda ordem, logo:

d d t   d d t s t = a ( t ) = 12 e - 2 t 1 - t

Quando t < 1 a derivada de segunda ordem é negativa, logo temos uma concavidade é para cima, quando temos que t > 1 . Aí a concavidade se inverte e fica para baixo pois a derivada de segunda ordem é negativa.

Passo 4

Vamos analisar a função s ( t ) que é a seguinte:

s ( t )   =   - 3 t e - 2 t

A função não detém nenhuma descontinuidade, então não tem assíntota vertical. Mas se você analisar a função temos que a exponencial nunca pode ser menor do que 0 .

Isso indica que s = 0 é uma assíntota.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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