Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Q03) Considere a função

f x = x 2 e - x

Determine caso existam:

  1. As equações das assíntotas verticais do gráfico de f
  2. As equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  3. As equações das assíntotas oblíquas do gráfico de f
  4. Os intervalos de crescimento e decrescimento de f  
  5. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f e suas retas assíntotas. Marque em seu desenho as abscissas dos pontos de máximo local e mínimo local do gráfico de f , caso existam.

Passo 1

Bora começar. Na letra a temos que descobrir eventuais assíntotas verticais do gráfico de f . Pra entender, olha bem pra cara da função:

f x = x 2 e - x = x 2 e x

E olha só, ficou uma função dividida por outra nessa nova forma de escrever né? Então os pontos candidatos à assíntotas verticais são os que zeram o denominador, pois não estariam definidos. Mas err...

e x = 0   ? ? ?

Não rola né, então se não tem como o denominador zerar pra qualquer x que a gente escolha, a função está definida então em todo I R e não temos assíntotas verticais. Quanto as horizontais, temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x

Se esses limites derem números, ai sim teremos assíntotas hirozintais. Pro primeiro, saca só como fica:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = + ∞ + ∞

Opa, indeterminação né? Mas como é do tipo ∞ ∞ , nada impede a gente de pedir ajuda pra L’Hospital, então realizando LH, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x = + ∞ + ∞

Fazer L’Hospital uma vez não deu muito certo, mas pelo menos caímos no mesmo tipo de indeterminação, então bora de novo fazer LH:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 e x = 2 + ∞ = 0

Opa, achamos pelo menos uma assíntota horizontal. Agora pro outro limite, calculamos assim:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 lim x → - ∞ ⁡ e x = + ∞ 0 + = + ∞

Como esse limite explodiu, a única assíntota horizontal mesmo é y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos checar agora as assíntotas oblíquas então. Pra isso vamos lembrar que, se ela existir, a equação será:

y = m x + n

Tal que:

m = lim x → - ∞ ⁡ f x x

n = lim x → - ∞ ⁡ f x - m x

Perceba que não precisamos checar para x → + ∞ já que já achamos uma assíntota pra esse lado, mas não pro outro. Achando m então temos:

m = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x x = lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x lim x → - ∞ ⁡ e x = - ∞ 0 + = - ∞

Esse limite tinha que dar um número! Se explodir pra ± ∞ então não temos assíntota oblíqua, ok? Até porque, não dá pra ter uma reta com coeficiente angular infinitamente grande e negativo, já pensou?

Passo 3

Bora pros intervalos de crescimento e decrescimento. E quem melhor pra nos ajudar nisso do que a primeira derivada? Afinal ela mostra a inclinação da reta tangete em determinado ponto. Então partiu derivar. Pela regra do produto:

f ' x = x 2 e - x '

f ' x = x 2 ' e - x + x 2 e - x '

f ' x = 2 x e - x - x 2 e - x

f ' x = x e - x 2 - x

Pra ver onde que a função cresce e decresce temos que trabalhar com o sinal da primeira derivada, porque a função cresce quando f ' x > 0 e decresce quando f ' x < 0 . Pra achar o ponto que isso muda, basta igualar à 0 :

f ' x = x e - x 2 - x = 0

x e - x = 0 o u 2 - x = 0 x = 0 o u x = 2

Bem, já que achamos dois pontos que zeram a primeira derivada, vamos testar o sinal dela em intervalos que envolvam esses pontos. Os intervalos vão ser:

- ∞ , 0

0,2

2 , + ∞

Pro primeiro intervalo, vamos testar, por exemplo, x = - 1 . A primeira derivada fica:

f ' - 1 = - 1 e - - 1 2 - - 1 = - 3 e < 0

Pro segundo intervalo, vamos testar, por exemplo, x = 1 . A primeira derivada fica:

f ' 1 = 1 e - 1 2 - 1 = 1 e > 0

Pro terceiro intervalo, vamos testar, por exemplo, x = 3 . A primeira derivada fica:

f ' 3 = 3 e - 3 2 - 3 = - 3 e 3 < 0

A conclusão que chegamos é:

A   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   0,2   A   f u n ç ã o   é   d e   c r e s c e n t e   e m   - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ O   p o n t o   x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l O   p o n t o   x = 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

Juntando essas informações com os limites hirozntais, temos o suficiente pra esboçar o gráfico. Então partiu!

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = + ∞

Resposta

  1. S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s
  2. U m a   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   y = 0
  3. S e m   a s s í n t o t a s   o b l í q u a s
  4. A   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   0,2   A   f u n ç ã o   é   d e   c r e s c e n t e   e m   - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ O   p o n t o   x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l O   p o n t o   x = 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

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