3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

d) f x = e - x 2 2

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício ele pede para a gente obter uma série de coisas:

  • Pontos críticos,
  • Máximos e mínimos locais,
  • Intervalos de crescimento e decrescimento,
  • Pontos de inflexão,
  • Intervalos onde f é côncava para cima e para baixo
  • Determinar as (possíveis) assíntotas
  • Fazer um esboço do gráfico.

NOSSA! Um monte de coisa... mas relaxa que a gente fazendo cada um dos passos aqui isso vai sair bem de boa. Todos esses itens estão relacionados com as derivadas da função. Então a gente começa calculando essas derivadas! No geral a primeira derivada dá conta da maioria dos itens, mas não vamos esquecer que a segunda derivada também ajuda bastante então é legal começarmos calculando as duas!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de

f x = e - x 2 2

Nós temos uma função composta então a gente usa a regra da cadeia:

f ' x = e - x 2 2 . - 2 x 2 f ' x =   - x e - x 2 2

Passo 3

Também é bem útil começar obtendo a derivada de segunda ordem. Fazemos isso derivando a função:

f ' x =   - x e - x 2 2

Agora temos um produto de funções. A gente resolve essa derivada usando a regra do produto:

A B ' = A ' B + A B '

Então temos

f ' ' x = - x ' . e - x 2 2 + - x .   e - x 2 2 '

f ' ' x =   - 1 . e - x 2 2 + - x . - x e - x 2 2

f ' ' x =   - e - x 2 2 + x 2 e - x 2 2

Arrumando um pouco temos:

f ' ' x =   e - x 2 2 x 2 - 1

Showw, agora a gente usa essas derivadas nos testes para obter cada um dos itens que nos pediram!

Passo 4

Vamos começar com os pontos críticos. Esses pontos são aqueles em que a primeira derivada é zero:

f ' x c = - x c e - x c 2 2 = 0

Aqui temos duas possibilidades: ou x c = 0 e isso já nos dá o primeiro ponto crítico:

x c =   0

A outra possibilidade é

e - x c 2 2 = 0

Só que a função exponencial nunca zera. Então não temos nenhum x c nesse caso!

Passo 5

Uma vez que a gente possui as derivadas e o nosso ponto crítico x c = 0 vamos classificar esse ponto em um máximo ou mínimo local ou em um ponto de inflexão. Para ver se é um máximo ou mínimo local, vamos ver o sinal da segunda derivada nesse ponto: f ' ' 0 = e - 0 2 2 0 2 - 1 = 1 . 0 - 1 f ' ' 0 =   - 1 < 0

Como a segunda derivada no ponto crítico é negativa, x = 0 é um máximo local de f ( x ) !

Como essa função não possui outros pontos críticos, não temos um mínimo local e nem um ponto de inflexão!

Passo 6

Para ver sobre o intervalo de crescimento ou decrescimento olhamos os sinais de f ' ( x ) . Quando esse cara é positivo, a função é crescente e quando é negativo a função é decrescente.

Vamos olhar a cara de f ' ( x )

f ' x = - x e - x 2 2

Como a exponencial sempre resulta em um número positivo, quem manda no sinal da função é aquele termo - x , então temos

  • f ' x > 0   quando x < 0 e a função é crescente nesse intervalo;
  • f ' x < 0   quando x < 0 e a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 7

Agora, para olhar sobre a concavidade, olhamos o sinal da segunda derivada

f ' ' x =   e - x 2 2 x 2 - 1

Aonde temos a regra:

f ' ' x > 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   c i m a f ' ' x < 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Como a exponencial sempre resulta em um número positivo, quem manda no sinal da função é aquele termo x 2 - 1 , então a função vai ser concava para cima se

x 2 - 1 > 0 x 2 > 1 x > 1   e   x < - 1

E vai ser concava para baixo quando

x 2 - 1 < 0 x 2 < 1 - 1 < x < 1

Como a função muda a concavidade em x = 1  e x =   - 1 , esses são os pontos de inflexão da função!

Passo 8

Para olhar as assíntotas a gente deve olhar dois casos:

Assíntotas verticais: Quando temos um x = a onde

lim x → a ⁡ f ( x ) =   ± ∞

Pela cara da nossa função f x =   e - x 2 2 , vemos que ela nunca diverge (geralmente isso acontece quando temos uma fração com um polinômio no denominador). Essa nossa função não tem assíntota vertiacal então.

Assíntotas horizontais: A gente calcula os limites:

lim x → ∞ ⁡ e - x 2 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 e x 2 2 = 0 lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 e x 2 2 = 0

Então uma assíntota horizontal em y = 0 . Shoow

Passo 9

Para esboçar essa função a gente junta todas essas informações que a gente obteve, marca as assíntotas horizontais no plano cartesiano, marca o máximo que a gente encontrou e usa os intervalos de concavidade para fazer o esboço. Fica mais ou menos assim:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2