3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

e) f x = ln ⁡ 1 + x 2

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício ele pede para a gente obter uma série de coisas:

  • Pontos críticos,
  • Máximos e mínimos locais,
  • Intervalos de crescimento e decrescimento,
  • Pontos de inflexão,
  • Intervalos onde f é côncava para cima e para baixo
  • Determinar as (possíveis) assíntotas
  • Fazer um esboço do gráfico.

NOSSA! Um monte de coisa... mas relaxa que a gente fazendo cada um dos passos aqui isso vai sair bem de boa. Todos esses itens estão relacionados com as derivadas da função. Então a gente começa calculando essas derivadas! No geral a primeira derivada dá conta da maioria dos itens, mas não vamos esquecer que a segunda derivada também ajuda bastante então é legal começarmos calculando as duas!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de

f x = ln ⁡ 1 + x 2

Nós temos uma função composta então a gente usa a regra da cadeia:

f ' x = ln ⁡ 1 + x 2 ' . 1 + x 2 ' f ' x = 1 1 + x 2 . 2 x f ' x = 2 x 1 + x 2

Passo 3

Também é bem útil começar obtendo a derivada de segunda ordem. Fazemos isso derivando a função:

f ' x = 2 x 1 + x 2

Agora temos uma divisão de funções. A gente resolve essa derivada usando a regra do quociente:

A B ' = A ' B - A B ' B 2

Então temos

f ' ' x = 2 x ' .   1 + x 2 - ( 2 x ) .   1 + x 2 '   1 + x 2 2

f ' ' x =   ( 2 ) .   1 + x 2 - ( 2 x ) .   ( 2 x )   1 + x 2 2 = 2 + 2 x 2 - 4 x 2   1 + x 2 2  

f ' ' x = 2 - 2 x 2   1 + x 2 2  

f ' ' x = 2 ( 1 - x 2 )   1 + x 2 2

Showw, agora a gente usa essas derivadas nos testes para obter cada um dos itens que nos pediram!

Passo 4

Vamos começar com os pontos críticos. Esses pontos são aqueles em que a primeira derivada é zero:

f ' x c = 2 x c 1 + x c 2 = 0

Aqui temos uma única possibilidade

2 x c =   0   x c = 0

Então temos um único ponto crítico em x = 0

Passo 5

Uma vez que a gente possui as derivadas e o nosso ponto crítico x c = 0 vamos classificar esse ponto em um máximo ou mínimo local ou em um ponto de inflexão. Para ver se é um máximo ou mínimo local, vamos ver o sinal da segunda derivada nesse ponto: f ' ' 0 = 2 1 - 0 2 1 + 0 2 2 f ' ' 0 =   2 > 0

Como a segunda derivada no ponto crítico é positiva, x = 0 é um mínimo local de f ( x ) !

Como essa função não possui outros pontos críticos, não temos um máximo local e nem um ponto de inflexão!

Passo 6

Para ver sobre o intervalo de crescimento ou decrescimento olhamos os sinais de f ' ( x ) . Quando esse cara é positivo, a função é crescente e quando é negativo a função é decrescente.

Vamos olhar a cara de f ' ( x )

f ' x = 2 x 1 + x 2

Como o denominador 1 + x 2 é sempre positivo, quem dita o sinal dessa função é o termo 2 x então temos

  • f ' x > 0   quando x > 0 e a função é crescente nesse intervalo;
  • f ' x < 0   quando x < 0 e a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 7

Agora, para olhar sobre a concavidade, olhamos o sinal da segunda derivada

f ' ' x = 2 ( 1 - x 2 )   1 + x 2 2

Aonde temos a regra:

f ' ' x > 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   c i m a f ' ' x < 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   b a i x o

A gente pode perceber que a função tem um número positivo 2 e um denominador que é um quadrado de um polinômio 1 + x 2 2 . Esse último termo é sempre positivo então quem dita o sinal de f ' ' é

( 1 + x 2 )

A função vai ser concava para cima quando:

1 -   x 2 > 0 x 2 < 1

Ou seja, no intervalo

- 1 < x < 1

E vai ser concava para baixo quando

1 -   x 2 < 0 x 2 > 1

Ou seja, quando:

x > 1   e   x < - 1

Como a função muda a concavidade em x = 1 e x = - 1 esses são os pontos de inflexão da função!

Passo 8

Para olhar as assíntotas a gente deve olhar dois casos:

Assíntotas verticais: Quando temos um x = a onde

lim x → a ⁡ f ( x ) =   ± ∞

Quando a nossa função é um log f x = ln ⁡ ( 1 + x 2   ) , ela diverge quando seu argumento é nulo. Então a a assíntota é dado pela equação:

1 + x 2 = 0

E aí a gente percebe que não vamos ter nenhum x que resolva essa equação. Então não temos assíntotas verticais para essa função!

Assíntotas horizontais: A gente calcula os limites:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( 1 + x 2   ) = ∞ lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ ( 1 + x 2   ) = ∞

Quando isso acontece, não temos nenhuma assíntota horizontal.

Passo 9

Para esboçar essa função a gente junta todas essas informações que a gente obteve. Primeiro marcamos o mínimo local em x = 0 , marcamos os pontos de inflexão e esboçamos através da concavidade dessa função lembrando os intervalos de crescimento da função. A gente fica com algo assim:

Resposta

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