Repita o que foi feito no exercício acima para as funções seguintes.

a )   f x = 2 x + 200 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 2 x + 200 x

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 2 x + 200 x

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nosso denominador tem um x , e quando x = 0 temos uma indeterminação! Isso significa que temos uma assíntota vertical em x = 0

Precisamos analisar a função em torno desse ponto (limite sanduíche), assim conseguimos fazer um esboço com mais clareza! Aqui é só olhar o sinal da função, aí já conseguimos descobrir se vai para + ∞ ou - ∞ :

lim x → 0 + ⁡ 2 x + 200 x = + ∞

lim x → 0 - ⁡ 2 x + 200 x = - ∞

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 200 x = + ∞

Olhando para o + ∞ temos que a função tende a + ∞ , então aqui não temos uma assíntota horizontal. Fazendo de forma análoga, vamos encontrar - ∞ também quando x → - ∞ , então não temos assíntotas horizontais para os dois lados!

Beleza?

Embora não tenhamos assíntotas horizontais, essa análise do sinal é importante e você vai ver mais pra frente!

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = 2 x + 200 x

f ' x = 2 - 200 x 2

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

2 - 200 x 2 = 0

x 2 - 100 = 0 → x = ± 10

Achamos dois pontos críticos!

x = - 10 ,   x = 10

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 11 ,   x = 1 e x = 11

f ' - 11 > 0

f ' 1 < 0

f ' 2 > 0

Assim podemos classificar os pontos críticos:

x = - 10 : m á x i m o   l o c a l

x = 10 : m í n i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 10 ) U ( 1 0 , + ∞ )

Beleza?

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - 10,0 ) U ( 0,10 )

Atenção: embora a f ' seja negativa entre - 10 e 10 , precisamos quebrar esse intervalo! Lembra que em x = 0 a função f não está definida!

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 2 - 200 x 2

E derivar novamente

f ' ' x = 400 x 3

Igualando a zero temos:

400 x 3 = 0

Ué, e agora? Será que existe algum valor de x que vá zerar isso daí? Não, não existe!

Isso significa que não temos pontos de inflexão!

A única análise que podemos fazer sobre a concavidade é testar em volta da assíntota vertical que achamos no passo 2!

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( 0 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , 0

Embora tenhamos troca de concavidade, não temos pontos de inflexão! Isso acontece quando temos uma assíntota vertical!

Beleza? Estamos quase lá! Agora é #partiu gráfico!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = x 2 - 1 x 3
  • f 0 : n ã o   c r u z a   o   e i x o   y
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 10 m á x i m o   l o c a l ,   x = 10 ( m í n i m o   l o c a l )  
  • c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 10 ) U ( 10 , + ∞ )
  • d e c r e s c e n t e : ( - 10,0 ) U ( 0,10 )
  • s e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( 0 , + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , 0
  • s e m   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ;   x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  
  • lim x → 0 + ⁡ 2 x + 200 x = + ∞ ; lim x → 0 - ⁡ 2 x + 200 x = - ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 200 x = + ∞ ;   lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 200 x = - ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d e c r e s c e n t e : ( - 10,0 ) U ( 0,10 )

s e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( 0 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , 0

s e m   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ;   x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

lim x → 0 + ⁡ 2 x + 200 x = + ∞ ; lim x → 0 - ⁡ 2 x + 200 x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 200 x = + ∞ ;   lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 200 x = - ∞

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