Repita o que foi feito no exercício acima para as funções seguintes.

b )   f x = x + 1 2 1 + x 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x + 1 2 1 + x 2

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x + 1 2 1 + x 2

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nosso denominador tem um x 2 + 1 , e não existe x que faça esse denominador ser zero! Isso significa que essa função não possui assíntotas verticais

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 2 1 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 2 x + 1 1 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 = 1

Olhando para o + ∞ temos que a função tende a + 1 , então aqui temos uma assíntota horizontal de equação y = 1 . Fazendo de forma análoga, vamos encontrar 1 também quando x → - ∞ , então temos assíntotas horizontais para os dois lados!

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = x + 1 2 1 + x 2

f ' x = 2 x + 1 1 + x 2 - 2 x x + 1 2 1 + x 2 2

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

2 x + 1 1 + x 2 - 2 x x + 1 2 1 + x 2 2 = 0

2 x + 1 1 + x 2 - 2 x x + 1 2 = 0 → x = ± 1

Achamos dois pontos críticos!

x = - 1 ,   x = 1

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 2 ,   x = 0 e x = 2 (em torno dos pontos críticos):

f ' - 2 < 0

f ' 0 > 0

f ' 2 < 0

Assim podemos classificar os pontos críticos:

x = - 1 : m í n i m o   l o c a l

x = 1 : m á x i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - 1,1 )

Beleza?

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 ) U ( 1 , + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior e simplificar um pouco:

f ' x = 2 x + 1 1 + x 2 - 2 x x + 1 2 1 + x 2 2 = - 2 x 2 + 2 1 + x 2 2

E derivar novamente

f ' ' x = - 4 x 1 + x 2 2 - 2 1 + x 2 . 2 x ( - 2 x 2 + 2 ) 1 + x 2 4

Igualando a zero temos:

- 4 x 1 + x 2 2 - 2 1 + x 2 . 2 x ( - 2 x 2 + 2 ) 1 + x 2 4 = 0

Equivale resolver essa equação aqui

- 4 x 1 + x 2 2 - 2 1 + x 2 . 2 x - 2 x 2 + 2 = 0

A primeira raiz que encontramos por inspeção é x = 0 !

Agora vamos em busca das outras:

- 4 x 1 + x 2 2 = 2 1 + x 2 . 2 x - 2 x 2 + 2

Simplificando temos

- 1 - x 2 = - 2 x 2 + 2

x 2 = 3 → x = ± 3

Prontinho! Encontramos outras duas raízes! x = - 3 e x = + 3

Isso significa que temos três pontos de inflexão!

x = - 3 ,   x = 0 ,   x = 3

Agora precisamos avaliar o sinal da segunda derivada em torno desses pontos para verificar a concavidade da função! Vamos simplificar um pouco a derivada segunda:

f ' ' x = - 4 x 1 + x 2 2 - 2 1 + x 2 . 2 x ( - 2 x 2 + 2 ) 1 + x 2 4 = 4 x ( x 2 - 3 ) 1 + x 2 3

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( - 3 , 0 ) U ( 3 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 U ( 0 , 3 )

Beleza? Estamos quase lá! Agora é #partiu gráfico!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = x + 1 2 1 + x 2
  • f 0 = 1
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = - m á x i m o   l o c a l ,   x = - 1 ( m í n i m o   l o c a l )  
  • c r e s c e n t e : ( - 1,1 )
  • d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 ) U ( 1 , + ∞ )
  • p o n t o s   d e   i n f l e x ã o :   x = - 3 ,   x = 0 ,   x = 3
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( - 3 , 0 ) U ( 3 , + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 U ( 0 , 3 )
  • a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   y = 1 ; s e m   a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = - m á x i m o   l o c a l ,   x = - 1 ( m í n i m o   l o c a l )  

c r e s c e n t e : ( - 1,1 )

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 ) U ( 1 , + ∞ )

p o n t o s   d e   i n f l e x ã o :   x = - 3 ,   x = 0 ,   x = 3

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( - 3 , 0 ) U ( 3 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 U ( 0 , 3 )

a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   y = 1 ; s e m   a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

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