Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f x = 2 x - x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom para resolver, a primeira coisa que precisamos relembrar aqui são as etapas do roteiro:

Show, temos todas as nossas etapas acima e vamos resolver cada uma

Passo 2

  1. Vamos começar achando o domínio da nossa função:

f x = 2 x - x

Reparem que temos uma função e a única restrição é a raiz:

x ≥ 0

x ≥ 0

Então

D = x ∈ R x ≥ 0 }

Passo 3

(b) Agora vamos achar as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados.

Para acharmos, temos que zerar as variáveis e achar cada componente. Começando por x = 0 :

f 0 = 2 0 - 0 = 0

Show, achamos valor que o gráfico corta o eixo y . Agora vamos y = 0

f x = 2 x - x = 0

2 x - x = 0

x = x 2

Para sumirmos com a nossa raiz, vamos elevar os dois lados ao quadrado:

x 2 = x 2 2

x = x 2 4

Pelo domínio, vimos que x ≥ 0 , então podemos dizer que x = x

x = x 2 4

x 2 4 - x = 0

x x 4 - 1 = 0

Logo

x = 0   o u   x = 4

Passo 4

(d) Agora vamos verificar se o gráfico possui assíntotas.

Vamos começar pela assíntota horizontal. No caso, precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = A

Aonde A tem que ser um valor inteiro. Vamos lá:

lim x → ∞ ⁡ 2 x - x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - x = N ã o   e x i s t e   d e v i d o   a o   d o m í n i o

Pelos valores, a função não tem assíntotas horizontais.

Agora partindo para a Assíntota Vertical. No caso, temos que calcular:

lim x → x 0 ⁡ 2 x - x

Como não temos um ponto, não temos assíntota Vertical.

Passo 5

(e) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento.

Para isso, temos que começar derivando a nossa função:

f ' x = 2 x - x '

f ' x = 1 x - 1

Vamos começar definindo quando ela zera:

1 x - 1 = 0

x = 1

Para quando é positiva:

1 x - 1 > 0

1 > x

x < 1

Para quando é negativa:

1 x - 1 < 0

x > 1

Analisando os valores e o domínio da função:

C r e s c e n d o : 0 ≤ x ≤ 1

Z e r o : x = 1

D e c r e s c e n d o : x > 1

Passo 6

(f) Encontre os pontos de máximo e mínimo locais.

Para isso, vamos olhar os intervalos achados no Passo anterior:

C r e s c e n d o : 0 ≤ x ≤ 1

Z e r o : x = 1

D e c r e s c e n d o : x > 1

Reparem que a nossa função vai crescendo, para e começa a decrescer. Então temos ali um ponto Mínimo Local.

Passo 7

(g) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.

f ' x = 1 x - 1

Vamos começar derivando a nossa primeira derivada:

f ' ' x = 1 x - 1 '

f ' ' x = - 1 2 x 3 / 2

Agora precisamos analisar quando a nossa segunda derivada é positiva, negativa ou igual a zero.

Vamos começar definindo quando ela zera:

- 1 2 x 3 / 2 = 0

Como temos um valor constante no numerador, a função nunca zera.

Para quando é positiva:

- 1 2 x 3 / 2 > 0

1 2 x 3 / 2 < 0

Como x 3 / 2 é sempre positivo e o numerador também, a relação acima nunca acontece. Então ela não será positiva para todo o o domínio

Para quando é negativa:

- 1 2 x 3 2 < 0

1 2 x 3 2 > 0

Como x 3 / 2 é sempre positivo e o numerador também, a relação acima sempre acontece. Então ela será negativa para todo o domínio

Analisando os valores e o domínio da função:

P o s i t i v o : N ã o   a c o n t e c e

Z e r o : N ã o   a c o n t e c e

N e g a t i v o : x > 0

Logo, ela só tem concavidade para baixo.

Passo 8

(h) Agora vamos esboçar o gráfico:

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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