Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f x = ( 1 - x ) e x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom para resolver, a primeira coisa que precisamos relembrar aqui são as etapas do roteiro:

Show, temos todas as nossas etapas acima e vamos resolver cada uma

Passo 2

  1. Vamos começar achando o domínio da nossa função:

f x = ( 1 - x ) e x

A nossa função não tem nenhuma restrição, então:

D = { x ∈ R }

Passo 3

(b) Agora vamos achar as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados.

Para acharmos, temos que zerar as variáveis e achar cada componente. Começando por x = 0 :

f 0 = 1 - 0 e 0 = 1 1 = 1

Show, achamos valor que o gráfico corta o eixo y . Agora vamos y = 0

f x = 1 - x e x = 0

Como e x nunca é igual a zero, vamos olhar somente para o primeiro termo da multiplicação:

1 - x = 0

x = 1

Passo 4

(d) Agora vamos verificar se o gráfico possui assíntotas.

Vamos começar pela assíntota horizontal. No caso, precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = A

Aonde A tem que ser um valor inteiro. Vamos lá:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x e x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x e x = 0

Pelos valores, a função tem uma assíntota horizontal em y = 0 .

Agora partindo para a Assíntota Vertical. No caso, temos que calcular:

lim x → x 0 ⁡ 1 - x e x

Como não temos um ponto, não temos assíntota Vertical.

Passo 5

(e) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento.

Para isso, temos que começar derivando a nossa função:

f ' x = 1 - x e x '

f ' x = ( - 1 ) e x + ( 1 - x ) e x

f ' x = - x e x

Vamos começar definindo quando ela zera:

- x e x = 0

x = 0

Para quando é positiva:

- x e x > 0

Como e x é sempre positivo, o que vai determinar:

- x > 0

x < 0

Para quando é negativa:

- x e x < 0

Como e x é sempre positivo, o que vai determinar

- x < 0

x > 0

Analisando os valores e o domínio da função:

C r e s c e n d o : x < 0

Z e r o : x = 0

D e c r e s c e n d o : x > 0

Passo 6

(f) Encontre os pontos de máximo e mínimo locais.

Para isso, vamos olhar os intervalos achados no Passo anterior:

C r e s c e n d o : x < 0

Z e r o : x = 0

D e c r e s c e n d o : x > 0

Reparem que a nossa função vai crescendo, para e começa a decrescer. Então temos ali um ponto Máximo Local.

Passo 7

(g) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.

f ' x = - x e x

Vamos começar derivando a nossa primeira derivada:

f ' ' x = - x e x '

f ' ' x = - e x - x e x

f ' ' x = - e x ( x + 1 )

Agora precisamos analisar quando a nossa segunda derivada é positiva, negativa ou igual a zero.

Vamos começar definindo quando ela zera:

- e x ( x + 1 ) = 0

Como - e x é sempre negativo, o que vai determinar:

x + 1 = 0

x = - 1

Para quando é positiva:

- e x x + 1 > 0

Como - e x é sempre negativo, o que vai determinar:

x + 1 < 0

x < - 1

Para quando é negativa:

- e x x + 1 < 0

Como - e x é sempre negativo, o que vai determinar:

x + 1 > 0

x > - 1

Analisando os valores e o domínio da função:

P o s i t i v o : x < - 1   ( C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a )

Z e r o : x = - 1   ( P o n t o   d e   I n f l e x ã o )

N e g a t i v o : x > - 1   ( C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o )

Passo 8

(h) Agora vamos esboçar o gráfico:

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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