Seja f x = 3 arctan ⁡ x 4 x

  1. Determine o domínio da função f
  2. Calcule a derivada da função f
  3. Determine todas as assíntotas da curva y = f ( x ) . Calcule todos os limites necessários e justifique suas respostas.
  4. Esboce o gráfico de f

Passo 1

Letra a) pra gente analisar o domínio da função, a gente sempre tem que olhar para o ponto que dar ruim. Olha pra função:

f x = 3 arctan ⁡ x 4 x

Qual ponto que ela dá ruim?

O z e r o ! Tem algum outro?

Hummmm! Vejamos, o arco-tangente funciona pra todos os pontos, então é só esse mesmo.

Logo, o domínio da região é toda a reta real tirando o z e r o : R - { 0 } .

Passo 2

Letra b) bem, nesse item, apenas devemos ficar atentos que se trada de uma derivada de uma fração, ou seja... regra da derivada de frações resolve a nossa vida ;)

Vamos lá, pela regra da fração, temos

f ' x = x ∙ 3 arctan ⁡ x 4 ' - 3 arctan ⁡ x 4 ∙ x ' x 2

Calculando as derivadas desses carinhas no nominador separadamente:

3 arctan ⁡ x 4 '

Aplicando a regra da cadeia aqui

3 arctan ⁡ x 4 ' = 3 1 x 4 2 + 1 ∙ x 4 ' =

A derivada de x 4 é 1 4 , portanto

3 arctan ⁡ x 4 ' = 3 4 1 x 2 16 + 1 =

3 4 1 ( x 2 + 16 ) 16 = 3 4 16 x 2 + 16 =

12 x 2 + 16

Como x ' = 1 , a gente ganha que a derivada da função toda é

f ' x = x ∙ 3 arctan ⁡ x 4 ' - 3 arctan ⁡ x 4 ∙ x ' x 2   ⇒

f ' x = 12 x x 2 + 16 - 3 arctan ⁡ x 4 x 2

Passo 3

Letra c) Então, vamos começar aqui a procurar as assíntotas horizontais, se lembra como podemos fazer isso?

Não tem problema se não! A gente deve aplicar o limite da função nos infinitos (tanto no positivo, quanto no negativo) se a função tender a um número, bem... essa será a assíntota.

Começando pelo lado positivo, ou seja

lim x → + ∞ ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x ⁡

Pow, como a gente já sabe, o arco-tangente é uma função limitada porque ela está entre - π 2 e π 2 .

Cara, se isso é verdade, então se o denominador vai para o infinito, então a gente pode falar que o limite vai para..... z e r o !

lim x → + ∞ ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x = 0

A mesma história para o lado negativo da coisa

lim x → - ∞ ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x = 0

Então a gente conclui que a reta y = 0 é uma assíntota horizontal ;)

Passo 4

Pra verificar se há assíntotas obliquas, a gente deveria fazer aquele limite se lembra?

lim x → ∞ ⁡ f x x

Mas cara, uma grande dica aqui, se a gente calculou os dois limites para assíntotas horizontais, e eles deram um valor, então esse limite aí com certeza vai ser zero, ou seja, pode falar direto que não tem assíntotas oblíquas como é o nosso caso, beleza?

Passo 5

Infelizmente a gente não tem um macete desse para as verticais não, então a gente tem que calcular na marra! Bora?

Pra verificar se tem esse tipo de assíntota a gente deve calcular outros limites, mas dessa vez com o x indo para o ponto problemático, veja só

Como o ponto que a função não funciona é o z e r o nesse caso, então a gente calcula

lim x → 0 + ⁡ f ( x )               e                     lim x → 0 - ⁡ f ( x )

Se esses limites forem para o infinito, então 0 será uma assíntota vertical, percebeu?

Passo 6

Então vamos procurar esses limites aí:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x

Quando x vai a 0 , o arco-tangente também vai. Então temos um caso de 0 / 0 e podemos aplicar L’hopital, se lembra dele?]

A gente calcula a derivada em cima e em baixo

lim x → 0 + ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x = lim x → 0 + ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 ' x '

A derivada de x é 1 e a derivada do cima a gente já calculou

lim x → 0 + ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 ' x ' = lim x → 0 + ⁡ 12 x 2 + 16 1 =

lim x → 0 + ⁡ 12 x 2 + 16 =

Substituindo o x ...

12 16 = 3 4

Passo 7

Quanto ao outro limite

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x

Vamos aplicar L’hopital novamente...

lim x → 0 - ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 x = lim x → 0 - ⁡ 3 arctan ⁡ x 4 ' x ' =

lim x → 0 - ⁡ 12 x 2 + 16

Ou seja, ele tende para o mesmo número

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = 3 4

Como 3 / 4 não é nada parecido com um infinito, garantimos que não tem assíntotas verticais !

Passo 8

Letra d) Então, pra desenhar o gráfico bastamos colocar todas as informações anteriores no gráfico!

Tipo, sabemos que 0 não tá no domínio, mas quando a função tende a ele, ela cresce para um número 3 4 .

E que no infinito essa função tende a z e r o ! Então essa função, só pode ter essa cara aqui

Resposta

Letra a) R - { 0 }

Letra b)

f ' x = 12 x x 2 + 16 - 3 arctan ⁡ x 4 x 2

Letra c)

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0             →               A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   y = 0

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = 3 4             →         N e n h u m a   a s s i n t o t a   v e r t i c a

Letra d)

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