Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f dada por

f x = arctan ⁡ x 2

  1. Determine s equações das retas assíntotas horizontais do gráfico de f , caso existam.
  2. Determine s equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.
  3. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
  4. Esboce o gráfico de f e suas retas assíntotas horizontais e verticais, caso existam. Marque em seu esboço as abscissas dos pontos de máximo e mínimo local de f , caso existam.
  5. Determine todos os valores c   ∈ I R para os quais a equação f x - c = 0 possui ao menos uma solução real

Passo 1

Questão completona né? Bora lá começar então. A primeira coisa que a função pede são as assíntotas horizontais. Oras, então basta a gente fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2

A primeira coisa que a gente tem que notar nesse limite é que x → - ∞ e x → + ∞ vão dar o mesmo resultado! Veja bem, tem um x 2 dentro da função, então tudo que for negativo some, beleza? Vamos ter:

lim x → ± ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = arctan ⁡ ∞

Mas já que a nossa função é uma função trigonométrica inversa, vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico pra ver o que acontece nesse limite:

Como queremos o arco cuja tangente é infinita e positiva, temos que ver em qual ângulo a reta vertical do círculo acima é infinitamente grande. E não é que é 90 º ? Ou em radianos π 2 . Então taí nossa única assíntota horizontal:

lim x → ± ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = π 2

A s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s → y = π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, vamos ver as assíntotas verticais agora. Pra ter assíntota vertical, temos primeiro que ter algum ponto que “dê problema na função”. Olha só:

f x = arctan ⁡ x 2 → D o m f = I R

Ou seja, não tem nenhum valor de x que eu escolha que não me resulte em um f x . Se olharmos o círculo trigonométrico também:

Vemos que realmente qualquer arco que a gente escolha, nos dá um valor possível de tangente. Oras, se o domínio da função é o próprio conjunto dos números reais, não vamos ter assíntotas verticais!

S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

Passo 3

Quando a gente fala de intervalo de crescimento e decrescimento, temos que ver a inclinação da reta tangente, beleza? E quem é essa inclinação se não o valor da primeira derivada em cada ponto?? Temos que derivar f x então e, só pra lembrar, a derivada de arctan ⁡ x tem um cálculo direto, viu? Vamos ter:

d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2

Beleza, mas não é bem x que que tá no interior do a r c t a n né? Na verdade, é bem como se tivéssemos:

arctan ⁡ x 2 = arctan ⁡ g x

g x = x 2

Opa, se derivarmos nossa f x , vamos acabar usando a regra da cadeia! Até porque, seja f e g funções quaisqueres de x :

d d x f g x = f ' g x ∙ g ' x

Seguindo essa regra aí, vamos ter:

f ' x = d d x arctan ⁡ g x = 1 1 + g x 2 ∙ g ' x

f ' x = d d x arctan ⁡ x 2 = 1 1 + x 2 2 ∙ x 2 '

f ' x = d d x arctan ⁡ x 2 = 2 x 1 + x 4

Agora pra gente ver quando essa derivada f ' x é positiva e quando é negativa, vamos ver primeiro quando ela é igual à 0 :

f ' x = 2 x 1 + x 4 = 0

2 x = 0

x = 0

Achamos então a única raíz da derivada! Vamos testar o sinal dela então em intervalos que envolvem essa raíz:

- ∞ , 0

0 , + ∞

Pro primeiro intervalo, usando, por exemplo, x = - 1 , vamos ter:

f ' - 1 = 2 - 1 1 + - 1 4 = - 1 < 0

Pro segundo intervalo, usando, por exemplo, x = 1 , vamos ter:

f ' 1 = 2 1 1 + 1 4 = 1 > 0

Como no primeiro intervalo a primeira derivada é negativa, a função vai ser decrescente. E como no segundo intervalo a primeira derivada é positiva, a função vai ser crescente. Vamos ter então:

C r e s c e n t e →   0 , + ∞

D e c r e s c e n t e → - ∞ , 0

E olha só olha lá! Se antes de chegar em x = 0 a função decresce e depois cresce, então x = 0 é um ponto de mínimo! Quando x = 0 , temos:

f 0 = arctan ⁡ 0 = 0

Logo o ponto de mínimo tem as coordenadas:

0,0

E veja bem, se

lim x → ± ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = π 2 > f 0 = 0

Então o ponto de mínimo vai ser um ponto de mínimo global!

Passo 4

Calma gafanhoto, a questão ta acabando. Nesse passo a gente só vai juntar tudo que vimos até agora pra esboçar. Temos:

A s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s → y = π 2

S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

C r e s c e n t e →   0 , + ∞ D e c r e s c e n t e → - ∞ , 0 P o n t o   d e   m í n i m o   g l o b a l → 0,0

Juntando isso tudo, a gente consegue ter um esboço, vamos ter:

Passo 5

Partiu então fechar a questão com chave de ouro. Temos agora que determinar todos os valores c   ∈ I R para os quais a equação f x - c = 0 possui ao menos uma solução real. Mas olha só essa equação como fica se substituirmos f x :

arctan ⁡ x 2 - c = 0

f x = arctan ⁡ x 2 = c

Ou seja, analisar os valores de c é o mesmo que analisar a imagem de f x , e pelo que já vimos, f x não passa de π 2 e nunca é negativo. Os valores de c que fazem a equação possuir pelo menos uma solução real vão ser:

c   ∈ [ 0 , π 2 )

Resposta

  1. A s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s → y = π 2
  2. S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s
  3. C r e s c e n t e →   0 , + ∞ D e c r e s c e n t e → - ∞ , 0 P o n t o   d e   m í n i m o   g l o b a l → 0,0
  4. c   ∈ [ 0 , π 2 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas