Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

1) Seja f : I R   n   1 → I R dada por

f x = x + 1 x - 1   e 1 1 - x

Esboce o gráfico de f localizando intervalos de crescimento e decrescimento, concavidades, limites convenientes e assíntotas (quando existirem). Use que:

f ' x = 3 - x x - 1 3   e 1 1 - x

f ' ' x = 2 x 2 - 11 x + 11 x - 1 5   e 1 1 - x

Passo 1

Felizmente pra essa questão vamos ter um trabalho a menos: não vamos precisar derivar. Então pra esboçar, vamos começar a catar informaçõessobre a função. A começar pelas interseções com os eixos. Se x = 0 , vamos ter:

f 0 = 0 + 1 0 - 1   e 1 1 - 0 =   - e

Se y = 0 , vamos ter:

0 = x + 1 x - 1   e 1 1 - x

x + 1 = 0

x = - 1

São pontos então da curva:

0 , - e

- 1,0

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Passo 2

Agora vamos falar de assíntotas. Pra isso, temos que calcular limites. A começar com assíntotas horizontais, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 ∙ lim x → + ∞ ⁡ e 1 1 - x

Calculando o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 = ∞ ∞

Aplicando L’Hospital, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 ' x - 1 ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 = 1

Para o segundo limite, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ e 1 1 - x = e 1 - ∞ = e 0 = 1

Por fim, chegamos à:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = 1 ∙ 1 = 1

Agora vamos olhar pro outro lado e fazer o limite x → - ∞ , beleza? Ficamos com:

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x - 1 ∙ lim x → - ∞ ⁡ e 1 1 - x

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x - 1 = ∞ ∞ = lim x → - ∞ ⁡ x + 1 ' x - 1 ' = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 = 1

lim x → - ∞ ⁡ e 1 1 - x = e 1 ∞ = e 0 = 1

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = 1 ∙ 1 = 1

Resumindo a ópera, vamos ter somente uma assíntota horizontal, e vai ser a reta:

y = 1

Passo 3

Agora pras assíntotas verticais, vamos ver em quais pontos a função “dá problema”. Como temos duas razões de polinômios: uma multiplicando a exponencial:

x + 1 x - 1

E outra dentro da exponencial:

1 1 - x

O único ponto que dá problema é aquele que zera o denominador. Nos dois casos vão ser:

x = 1

Então bora fazer o limite para essa valor. Primeiro tendendo pela esquerda, vamos ter:

lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1 ∙ lim x → 1 - ⁡ e 1 1 - x

Pro primeiro limite, ficamos com:

lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1 = 2 0 - = - ∞

E no segundo limite:

lim x → 1 - ⁡ e 1 1 - x = e 1 0 + = e + ∞ = + ∞

Juntando tudo, achamos o limite:

lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = - ∞ ∙ + ∞ = - ∞

Só que não acabou ainda viu? Temos que ver o limite com 1 tendendo pela direita. Nesse caso, calculamos:

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1 ∙ lim x → 1 + ⁡ e 1 1 - x

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1 = 2 0 + = + ∞

lim x → 1 + ⁡ e 1 1 - x = e 1 0 - = e - ∞ = 0

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = + ∞ ∙ 0 = 0

Veja bem, apesar de os limites calculador pela esquerda e pela direita não terem dado a mesma coisa, pelo menos um deles deu ± ∞ . Sendo assim, podemos confirmar sim:

x = 1

Como única assíntota vertical

Passo 4

Bora falar de intervalos de crescimento e decrescimento agora. Uma função cresce quando sua primeira derivada é positiva e decresce quando negativa, pois o sinal dela dá a inclinação da reta tangente. Como:

f ' x = 3 - x x - 1 3   e 1 1 - x

Vamos achar os valores de x que fazem f ' x ser 0 pra depois estudar os sinais, ok? Bora lá:

f ' x = 3 - x x - 1 3   e 1 1 - x = 0

3 - x = 0

x = 3

Beleza, agora que achamos o valor de x que zera, vamos testar o sinal em intervalos que envolvam esse ponto e a assíntota vertical. Os intervalos vão ser:

- ∞ , 1

1,3

3 , + ∞

Pro primeiro intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 0 , temos:

f ' 0 = 3 - 1 3   e 1 1 =   - 3 e < 0

Pro segundo intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 2 , temos:

f ' x = 1 1 3   e 1 - 1 = 1 e > 0

Pro terceiro intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 4 , temos:

f ' x = - 1 2 3   e 1 - 3 = - 1 8 e 1 3 < 0

Fechamos então os intervalos:

C r e s c e n t e → 1,3 D e s c r e s c e n t e → - ∞ , 1 ∪ 3 , + ∞

E veja bem. Como a função é crescente em 1,3 e depois em 3 , + ∞ decresce, vamos ter então que o ponto crítico x = 3 é um ponto de máximo.

Passo 5

Chegamos na hora da concavidade! A ideia é a mesma do passo 4, só que vamos usar a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x 2 - 11 x + 11 x - 1 5   e 1 1 - x

Pra ela ser zerada, temos que:

2 x 2 - 11 x + 1 1 = 0

Pela fórmula de Bháskara, seja:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde:

a = 2 b = - 11 c = 11

Vamos ter:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x 1,2 = 11 ± 121 - 88 4

x 1,2 = 11 ± 33 4

Reescrevemos o polinômio para:

2 x 2 - 11 x + 11 = 2 x - 11 + 33 4 x - 11 - 33 4 = 0

E os valores que zeram f ' ' x vão ser exatamente:

x 1,2 = 11 ± 33 4 = x ≅ 4,18 x ≅ 1,31

Beleza, achamos os pontos que zeram. Incluindo agora o valor da assíntota vertical x = 1 , basta a gente montar os intervalos pra checar. Eles vão ser:

- ∞ , 1

1 , 11 - 33 4

11 - 33 4 , 11 + 33 4

11 + 33 4   ,   + ∞

Pro primeiro intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 0 , temos:

f ' ' 0 = 11 - 1 5   e 1 1 =   - 11 e < 0

Pro segundo intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 1,2 , temos:

f ' ' 1,2 = 2 1,2 2 - 11 1,2 + 11 x - 1 5   e 1 - 0,2 = 0,68 0,2 5 e 5 > 0

Pro terceiro intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 3 , temos:

f ' ' 3 = - 4 2 5   e 1 - 2 = - 1 8 e 0,5 < 0

Pro quarto intervalo, escolhendo, por exemplo, x = 5 , temos:

f ' ' 5 = 6 4 5   e 1 - 4 = 3 512   e 0,25 > 0

Quando um intervalo tiver sinal negativo, é porque a concavidade está pra baixo. Quando tiver positivo, concavidade pra cima. Ficamos então com:

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → 1 , 11 - 33 4 ∪ 11 + 33 4   ,   + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - ∞ , 1 , 11 + 33 4 ∪ 11 - 33 4 , 11 + 33 4

E como os pontos de inflexão são exatamente os pontos que fazem a concavidade mudar, vamos ter como pontos de inflexão:

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 x = 11 - 33 4 x = 11 + 33 4

Passo 6

Ufa, calculamos tudo. Agora vamos juntar todas as infos pra poder esboçar o gráfico. Temos:

P o n t o s   d a   c u r v a →   0 , - e - 1,0

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l → y = 1 A s s í n t o t a   v e r t i c a l → x = 1

lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = 0

C r e s c e n t e → 1,3 D e s c r e s c e n t e → - ∞ , 1 ∪ 3 , + ∞

P o n t o   d e   M á x i m o → x = 3

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → 1 , 11 - 33 4 ∪ 11 + 33 4   ,   + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - ∞ , 1 , 11 + 33 4 ∪ 11 - 33 4 , 11 + 33 4

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 x = 11 - 33 4 x = 11 + 33 4

Misturando essas coisas todas aí, esboçamos:

Resposta

P o n t o s   d a   c u r v a →   0 , - e - 1,0

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l → y = 1 A s s í n t o t a   v e r t i c a l → x = 1

lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x - 1   e 1 1 - x = 0

C r e s c e n t e → 1,3 D e s c r e s c e n t e → - ∞ , 1 ∪ 3 , + ∞

P o n t o   d e   M á x i m o → x = 3

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → 1 , 11 - 33 4 ∪ 11 + 33 4   ,   + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - ∞ , 1 , 11 + 33 4 ∪ 11 - 33 4 , 11 + 33 4

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 x = 11 - 33 4 x = 11 + 33 4

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