Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja

f x = x 4 5   x 9 - 1 4

Com f ' x = x - 1 5 x 5 e f ' ' x = 4 x + 1 25 x 6 5 . Determine, caso existam:

definida para x ≠ 0 .

  1. Assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f
  2. intervalos onde f é crescente e intervalos onde f é decrescente
  3. pontos críticos de f
  4. máximos locais e mínimos locais
  5. intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo
  6. pontos de inflexão do gráfico de f
  7. utilizando os resultados dos itens anteriores, esboce o gráfico de f

Passo 1

Pra calcular as assíntotas horizontais temos que fazer os limites com x → ± ∞ . Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ x 4 5   x 9 - 1 4   = ∞ ∞ = ∞

l i m x → - ∞ x 4 5   x 9 - 1 4 = ∞ - ∞ = - ∞

Não há assíntotas horizontais.

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Passo 2

As assíntotas verticais só existem se a função tiver descontinuidade. Nesse caso, a função é contínua para todo x ϵ R . Por isso, não há assínttoas verticais.

Passo 3

Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de f .

f ' x = x - 1 5 x 5

f ' x = 0 → x = 1

f ' x é   d e s c o n t í n u a → x = 0

Tendo esses dois pontos importantes de f ' , podemos fazer o quadro de sinais:

Assim, conclui-se que

f   é   c r e s c e n t e   ( s i n a l   p o s i t i v o ) : x < 0   e   x > 1

f   é   d e c r e s c e n t e   s i n a l   n e g a t i v o : 0 < x < 1  

Passo 4

Os pontos críticos de f ocorrem quando

f ' x = 0

Vimos no passo anterior que isso ocorre em

x = 1

Portanto, o único ponto crítico existente é o ponto x = 1 ; y = 0 .

Passo 5

Os pontos candidatos a serem máximos e mínimos são x = 1 (ponto crítico) e x = 0 (onde a função não é contínua). Observe o quadro de sinais. Como a derivada muda de positiva para negativa ao se aproximar de x = 0 , esse é um ponto de máximo local.

No ponto x = 1 a derivada muda de negativa para positiva, logo este é uma ponto de mínimo local.

Passo 6

Temos que descobrir onde a função é côncava pra cima ou côncava pra baixo. Como fazer isso? Analisando o sinal da segunda derivada

f ' ' x = 4 x + 1 25 x 6 5

Os pontos significativos para essa função são:

f ' ' x = 0

4 x + 1 25 x 6 5 = 0

x = - 1 4

E quando ela não está definida:

x = 0

Agora podemos fazer o quadro de sinais, que fica assim:

Quando x < - 1 4 → f ' ' x < 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Quando - 1 4 < x < 0   o u   x > 0 → f ' ' x > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a  

Passo 7

Os pontos de inflexão são os pontos onde a função muda de concavidade. Nesse caso, só há um ponto de inflexão, que acontece em

x = - 1 4

Seu valor é

- 1 4 ,   f - 1 4

Passo 8

Juntando tudo que descobrimos nos passos anteriores, e sabendo as interseções com o eixo x :

f 0 = 0

E como eixo y :

f 9 4 = 0

Podemos esboçar o gráfico:

Resposta

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