Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f x = x 2 e x

a Determine o domínio de f

b Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de f

c Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

d Determine todas as assíntotas da curva y = f x

e Determine todos os pontos de inflexão de f

f Esboce o gráfico de f contemplando tudo que foi calculado acima

g Considere agora a função g x = arccos ⁡ f x A respeito do domínio de g , o que se pode afirmar? Escolha uma das opções abaixo e justifique adequadamente a sua resposta.

i . O domínio é R

i i . O domínio é 0 , π

i i i . O domínio é - π 2 , π 2

i v . O domínio é ( - ∞ , a ] onde 0 ≤ a ≤ 1

Passo 1

a No termo da função f x não temos nenhum limitante do domínio. Com isso,

D o m :   R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Vamos derivar f pela Regra do Produto:

f ' x = x 2 ' e x + x 2 e x '

= 2 x e x + x 2 e x

= e x x 2 + 2 x

Repare que e x é sempre positivo. Com isso, quem comanda o sinal da derivada e o crescimento da função é o x 2 + 2 x . Fazendo o quadro de sinais com ele:

Dado isso, a função será crescente em ] - ∞ , - 2 [   ∪   ] 0 , + ∞ [ e decrescente em ] - 2,0 [ , como indicado no quadro de sinais da derivada de f .

Passo 3

c Para analisar os pontos de mínimo e máximo procuramos pontos de mudança do sinal da derivada. Quando vai de positiva para negativa, temos máximo. Quando negativa para positiva, temos mínimo.

Assim, x = - 2 é ponto de máximo e x = 0 de mínimo.

Passo 4

d Procuramos por assíntotas. Sabemos que as verticais estão relacionadas com descontinuidades no domínio. Como o domínio dessa função é composto por todos os números reais, teremos que não existem assíntotas verticais.

Vamos olhar agora por assíntotas horizontais, com x → ± ∞ :

lim x → ∞ ⁡ x 2 e x = ∞ ∞

= ∞

Sem assíntotas para x → + ∞ .

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = ∞ ∞

Aplicando L’Hospital

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ x 2 ' e - x ' = lim x → - ∞ ⁡ 2 x - e - x = ∞ ∞

L’Hospital de novo:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ 2 x ' - e - x ' = lim x → - ∞ ⁡ 2 e - x = 2 ∞

= 0

Assíntota horizontal em x = 0 .

Passo 5

e Vamos fazer a análise da derivada segunda, que nos dá informações sobre a concavidade do gráfico e seus pontos de inflexão. Achamos a derivada segunda pelas Regras de derivação do Produto e do Quociente:

f ' ' x = e x ' x 2 + 2 x + e x x 2 + 2 x '

= e x x 2 + 2 x + e x 2 x + 2

= e x x 2 + 4 x + 2

Zerando essa função, sabendo que e x > 0 sempre:

f ' ' x = 0 → x 2 + 4 x + 2 = 0

x = - 4 ± 16 - 8 2 = - 2 ± 2

Logo, os pontos de inflexão são x = - 2 ± 2 .

Passo 6

f Agora, juntando tudo que vimos na questão, temos o seguinte:

- D o m :   R

- f   é   c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , - 2 [   ∪   ] 0 , + ∞ [   ; é   d e c r e s c e n t e   e m   ] - 2,0 [

- P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 0

- P o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l   e m   x = - 2

- A s s .   v e r t i c a l : -   ; A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0

- P o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   x = - 2 - 2   e   x = - 2 + 2

Assim, o gráfico será:

Passo 7

g Observando o domínio teremos de g x = arccos ⁡ f x , sabemos que a imagem da função cos ⁡ x será - 1,1 , uma vez que o cosseno é confinado nesses valores por definição.

Assim, o domínio de sua inversa deve corresponder com sua imagem, teríamos o domínio de arccos ⁡ x valendo - 1,1 .

Porém, temos ali o arco cosseno de f x = x 2 e x . Assim, o domínio para x sairá de todos os valores de x que gerem f x entre - 1 e 1 .

Olhando no gráfico, isso acontece para x < 0 e para 0 < x < a , onde a é um valor entre 0 e 1 . Assim, ficamos com a opção i v :

i v .   O   d o m í n i o   é   ( - ∞ , a ]   o n d e   0 ≤ a ≤ 1

Resposta

a   D o m :   R

b f   é   c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , - 2 [   ∪   ] 0 , + ∞ [   ; é   d e c r e s c e n t e   e m   ] - 2,0 [

c   P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 0

P o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l   e m   x = - 2

d   A s s .   v e r t i c a l : -   ; A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0

e   x = 2 ± 2

f   f i g u r a   a c i m a

g     i v .   O   d o m í n i o   é   ( - ∞ , a ]   o n d e   0 ≤ a ≤ 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas