Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja

f x = e 3 x - e 2 x

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f

b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

c) Determine todos os pontos de inflexão de f

Passo 1

a) Para saber sobre o crescimento ou decrescimento de uma função precisamos saber sobre o sinal da derivada dessa função em um determinado intervalo. Por isso, para começar, vamos derivar essa função.

f ' x = 3 e 3 x - 2 e 2 x

Agora vamos ver quando ela é positiva.

3 e 3 x - 2 e 2 x > 0

3 e 3 x > 2 e 2 x

e 3 x > 2 3 e 2 x

e 2 x ( e x - 2 3 ) > 0

e x - 2 3 > 0

e x > 2 3

ln ⁡ e x > ln ⁡ 2 3

x ln ⁡ e > ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

x > ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, o intervalo de crescimento de f é

x > ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

E o intervalo de decrescimento é

x < ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

Passo 3

b) Sabendo que

f ' x = 0

3 e 3 x - 2 e 2 x = 0

x = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

Podemos afirmar que x = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 é o único ponto crítico existente. Sabemos que nesse ponto, a derivada muda de negativa para positiva, portanto esse é um ponto de mínimo da função. Como o domínio de f é todo o conjunto dos números reais, não há fronteiras a serem analisadas, logo

x = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 é mínimo global.

Passo 4

c) Parar descobrir o(s) ponto(s) de inflexão precisamos estudar a concavidade da função, o que é feito a partir da análise do sinal da segunda derivada. Por isso, vamos fazer a segunda derivada de f .

f ' ' x = 9 e 3 x - 4 e 2 x = e 2 x ( 9 e x - 4 )

Passo 5

Vamos analisar seu sinal.

f ' ' x > 0

e 2 x 9 e x - 4 > 0

e 2 x 9 e x - 4 > 0

x > 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 )

Quando x > 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 ) a segunda derivada é positiva, logo a concavidade é para cima.

Quando x < 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 ) a segunda derivada é negativa, logo a concavidade é para baixo.

A partir dessas duas conclusões, podemos dizer que o ponto x = 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 ) é o único ponto de inflexão de f .

Resposta

  1. Crescimento: x > ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3
  2. Decrescimento: x < ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

  3. x = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 é mínimo global
  4. x = 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 ) é o único ponto de inflexão de f

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